初三上册数学直升班培优讲 义第13讲 圆三教师版

1、第第 3 3 讲讲 一元二次方程的判别式与根系关系一元二次方程的判别式与根系关系 模块一模块一 一元二次方程的判别式一元二次方程的判别式 1 1定义：定义： 在一元二次方程()axbxca 中，只有当系数a、b、c满足条件bac 时才有实数根这 里bac 叫做一元二次方程根的判别式，记作 2 2判别式与根的关系：判别式与根的关系： 在实数范围内，一元二次方程()axbxca 的根的情况由 bac 。

2、1 第第 2 2 讲讲 可化为一元二次方程的其他方程可化为一元二次方程的其他方程 模块一模块一 可化为一元二次方程的高次方程可化为一元二次方程的高次方程 在遇到这类可转化为一元二次方程的高次方程时，通常有两种转化方法 1 1因式分解法：因式分解法： 如果所遇到的高次方程可以因式分解成两个或者多个一元二次式或一元一次式的乘积的形式，可以用因式 分解法 2 2整体换元法：整体换元法： 在一个式子中要。

3、第第 4 4 讲讲 一元二次方程的特殊根问题一元二次方程的特殊根问题 模块一模块一 一元二次方程的公共根一元二次方程的公共根 1 1一元二次方程公共根问题的一般解法：一元二次方程公共根问题的一般解法： （1）如果公共根可以根据其中一个方程求出，则先求出公共根，代入另外一个方程，得到某一个参数的一 个方程，解得参数 （2）如果公共根不能直接求出，则先设出公共根，然后代入原方程，通过恒等变形求出参数的。

4、第第 5 5 讲讲 一元二次方程的构造及应用一元二次方程的构造及应用 模块一模块一 利用根的定义构造方程利用根的定义构造方程 如果m、n分别是一元二次方程()axbxca 的两根，那么有ambmc ，anbnc ，相 反的，如果已知m、n分别满足ambmc ，anbnc ，且a ，那就可以构造一个一元二次方程 ()axbxca 使得m、n是它的解 模块二模块二 利用根系关系构造方程利用根系关系。

5、3 -9 -6 Ox y B A 第第 9 9 讲讲 二次函数的线段最值和面积最值二次函数的线段最值和面积最值 模块一：二次函数的线段最值模块一：二次函数的线段最值 1定点在同侧，需要对称转化为异侧； 2动线段端点不重合，需要平移转化到同一点 模块二：二次函数的面积最值模块二：二次函数的面积最值 1铅垂法： 1 2 S 水平宽 铅垂高 分三步走：分三步走： （1）过动点作铅垂线，交另外两。

6、第第 7 7 讲讲 二次函数的图象判断和几何变换二次函数的图象判断和几何变换 模块模块一：一：二次函数的图象判断二次函数的图象判断 1二次函数图象与系数的关系 （1）a决定抛物线的开口方向 当0a 时，抛物线开口向上；当0a 时，抛物线开口向下反之亦然 （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异” 当0b 时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴。

7、第第 1010 讲讲 二次函数和方程不等式综合二次函数和方程不等式综合 模块模块一：一：二次函数和方程综合二次函数和方程综合 1函数 11 ya xb和二次函数 2 22 ya xb xc的交点 （1）交点求解，联立方程组 11 2 22 ya xb ya xb xc ，并代入求解 （2）交点个数，联立方程组 11 2 22 ya xb ya xb xc ，消元得到一元二次方程，看判。

8、第第 8 8 讲讲 二次函数的区间最值及应用二次函数的区间最值及应用 模块模块一：二次函数的一：二次函数的区间最值区间最值 1定轴定区间 对于二次函数 2 (0)yaxbxc a在mxn 上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值， max y 表示 y的最大值， min y 表示y的最小值） （1）若自变量x为全体实数，如图，函数在 2 b x a 时，取到最小值，无最大值 （2）若 2 b 。

9、第第 6 6 讲讲 二次函数的图像性质和解析式二次函数的图像性质和解析式 模块模块一：二次函数的定义一：二次函数的定义 1定义：一般地，形如 2 yaxbxc（a，b，c是常数，0a ）的函数，叫做二次函数其中x是自变 量，a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项 注意：注意：二次函数的二次项系数0a ，而b、c可以为零 模块模块二：二次函数的图象和性质二：二次函数的图象和性质 1。

10、第第 1818 讲讲 几何变换之旋转（一）几何变换之旋转（一） 一、旋转初步：一、旋转初步： 旋转在生活中很常见，在数学中，旋转变换也是几何三大变换中最常考的一种，也是在近几年中考和 直升外地生考试中频繁出现的热点考点。 1旋转的三要素：旋转角度，旋转中心和旋转方向。 2旋转的性质：旋转前后对应的图形全等，对应的旋转角度相等。 3中心对称：特别的，如果旋转角度为180，那么旋转前后两个图形成中心。

11、 1 第第 1515 讲讲 四点共圆四点共圆（一一） 模块一：辅助圆思想模块一：辅助圆思想 平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分 简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础 几何条件：OAOBOC 辅助圆：以O为圆心、OA为半径作圆O OAOBOC，点B、C在O上 几何条件：OCOD,2CODCAD 辅助圆：以O为圆心、OC为半径作圆。

12、 1 第第 1616 讲讲 四点共圆（二）四点共圆（二） 模块一：四点共圆的判定（二）模块一：四点共圆的判定（二） 两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆 四边形ABCD的对角线AC、BD交于H， 若AH CHBH DH，则ABCD、 、 、四点共圆. 四边形ABCD的对边BA、CD的延长线交于P， 若PA PBPD PC，则ABCD、 、 、四点共圆. 。

13、第第 1717 讲讲 托勒密定理托勒密定理 （托勒密定理）四边形ABCD内接于圆，求证：AC BDAD BCAB CD 【解析】【解析】如图，在BD上取一点P，使其满足12 34 ，ACDBCP， ACAD BCBP ， 即AC BPAD BC 又ACBDCP ，56 ， ACBDCP， ABAC DPCD ，AC DPAB CD +，有AC BPAC PDAD BCAB CD 。

14、 1 第第 1111 讲讲 圆圆( (一一) ) 模块一模块一 圆的基本概念圆的基本概念 定 义 示例剖析 圆：圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 由圆的定义可知：由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平 面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上因此， 圆是在一个平面内，。

15、第第 1414 讲讲 圆（圆（四）四） 模块一模块一 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系：圆和圆外离、圆和圆外切、圆和圆相交、圆和圆内切、圆和圆内含五种，这五种关系 由两圆圆心的距离与两圆半径之和或差的大小关系决定 设 1 O、 2 O的半径分别为r、R（其中Rr） ，两圆圆心距为d，则有： dRr两圆外离；dRr两圆外切；RrdRr两圆相交； dRr两圆内切；0。

16、 1 第第 1212 讲讲 圆（二）圆（二） 模块一模块一 弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距、圆周角、弦心距之间的关系之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 推论：推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等 总结：总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦。

17、 1 第第 1313 讲讲 圆（三）圆（三） 模块一模块一 切线的性质和判定切线的性质和判定 1 1切线的性质：切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 如图，直线AB与O相切于点P，连接OP，则OPAB. 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. 2 2切线的判定：。