导数的计算

1、的平均变化率是多少？答案.思考3当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？答案是梳理导数的定义及表示(1)定义：设函数yf(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为.当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数(2)记法：函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0).1f(x0)表示f(x)在xx0处的瞬时变化率()2f(x).()类型一导数定义的理解例1(1)1，则f(x0)等于()A2 B1 C. D0(2)已知f(x0)2，则_.考点导数的概念题点导数的概念的理解答案(1)C(2)1解析(1)1，f(x0).故选C.(2)f(x0)1.。

2、xf(x)1xf(x)1x2f(x) xf(x)12x【预习评价】思考 根据上述五个公式，你能总结出函数 yx 的导数是什么吗？提示 yx 的导数是 yx 1 .知识点 2 基本初等函数的导数公式原函数 导函数f(x)c f(x)0f(x)x (Q *) f(x)x 1f(x) sin x f(x)cos_xf(x)cos x f(x)sin_xf(x)a x f(x)a xln_a(a0)f(x)e x f(x)e xf(x) logax f(x) (a0，且 a1)1xln af(x) ln xf(x)1x【预习评价】求下列函数的导数：(1)f(x) ；(2)g(x )cos ；(3) h(x)3 x.4x54解 (1)f(x) x ，f(x ) x ；545414(2)g(x)cos ，g( x)0；4 22(3)h(x)3 xln 3.题型一 利用导数定义求函数的导数【例 1】 利用导数的定义求函数 f(x)2 016x 2。

3、5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 导数的四则运算法则 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能根据定义求函数 yc，yx，yx2，y1x，y x的导数难点 2掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用重点易混点 3能利用导数的运。

4、的优化问题).考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；考察f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.3.函数的最值(1)在闭区间a，b上连。

5、x)1xf(x )1x2f(x) x f(x )12x2.基本初等函数的导数公式函数 导数f(x)c(c 为常数) f(x)0f(x)x (Q *) f(x)x 1f(x)sin x f(x) cos _xf(x)cos x f(x)sin_xf(x)a x f(x)a xln_af(x)e x f(x ) exf(x)log ax f(x ) 1xln af(x)ln x f(x ) 1x(1)上述导数公式表是比较全面的，涵盖了基本初等函数中的常数函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数，其中幂函数的导数公式中幂指数可以推广到全体实数(2)若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用 yx 的导数公式解决(3)记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要注意函数名的变化，二要注意符号的变化(4)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数(5)对数函数的导数等于 x 与底数的自然对数乘积的倒数 判断正误(正确的打“” ，错误的打 “&。

6、yf(x)，当x从x0变到x0x时，y关于x的平均变化率是多少？,思考3 当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？,答案 是.,梳理 导数的定义及表示 (1)定义：设函数yf(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为 .当x1趋于x0， 即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个 ，那么这个值就是函数 yf(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数.,固定的值,1.f(x0)表示f(x)在xx0处的瞬时变化率.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 导数定义的理解,解析,答案,答案,1,解析,反思与感悟 利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同.,跟踪训练1 设函数yf(x)在xx0处可导，且 a， 则f(x0)_.,答案,解析,类型二 求函数在某点处的导数,解析,答案,。

7、解方程f(x)0，当f(x0)0时，(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值知识点三函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的求法1求函数yf(x)在(a，b)内的极值2将函数yf(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1函数yxln x在上是减函数()2若函数yaxln x在内单调递增，则a的取值范围为(2，)()3设函数f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则c2.()4函数f(x)x(1x2)在0,1上的最大值为.()类型一导数与函数单调性命题角度1讨论函数单调性例1已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(。

8、1.2 导数的运算导数的运算 1.2.1 常数函数与幂函数的导数常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用导数公式表及数学软件的应用 学习目标 1.能根据定义求函数 yC，yx，yx2，yx3，y1 x，y x的导数.2.能利用给 出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数 知识点一 几个常用函数的导数 (1)若 yf(x)C，则 f(x)0. (2)若 yf(x)x，则 f。

9、数的定义一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数(composite function)，记作（2）复合函数的求导法则复合函数的导数和函数，的导数间的关系为_，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积学科&网K知识参考答案：12 4K重点基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则K难点导数的四则运算法则K易错求导公式及求导法则记忆错误求函数的导数（1）基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导（2）应用导数运算法则求函数的导数的技巧：求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导（3）应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形。

10、K重点基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则K难点导数的四则运算法则K易错求导公式及求导法则记忆错误求函数的导数（1）基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导（2）应用导数运算法则求函数的导数的技巧：求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导学科&网在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导（3）应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导下列求导运算正确的是ABCD【答案】B【解析】因为，所以A项应为；由知B项正确；由可知C项错误；D项中，所以D项是错误的综上所述，正确选项为B【名师点睛】要注意区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆求下列函数的导数：。

11、39;(x)=4x B.f (x)=4 2xC.f (x)=8 2x D.f (x)=16x答案 C f(x)=(2x) 2=4 2x2,f (x)=8 2x.3.曲线 y=x3+x-2 在点 P0处的切线平行于直线 y=4x-1,则点 P0的坐标为( )A.(1,0),(-1,-4) B.(0,1)C.(1,0) D.(-1,-4)答案 A 设 P0(x0,y0).因为 f(x)=x3+x-2,故 f (x0)=3 +1=4,解得 x0=1,当 x0=1 时,y 0=0,当 x0=-1x20时,y 0=-4,故选 A.4.已知函数 f(x)=axn(a,nR)的图象在点(1,2)处的切线方程是 y=4x-2,则下列说法正确的是( )A.函数 f(x)是偶函数且有最大值B.函数 f(x)是奇函数且有最大值C.函数 f(x)是偶函数且有最小值D.函数 f(x)是奇函数且有最小值答案 C 对函数 f(x)求导得 f (x)=anxn-1,则由题意得 解得 则函f(1)=a1n=2。

12、x 0fa 2x fa2x即 f( a)1 ，则 f( a) ，故选 D.23 322(2017云南师大附中考试)曲线 ya x 在 x0 处的切线方程是 xln 2y10，则 a( A )A. B212Cln 2 Dln 123(2016山东济南模拟 )已知函数 f(x)的导函数 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln x，则 f(1)( B )Ae B1C1 De4(2016贵州贵阳模拟 )曲线 yxe x 在点(1，e)处的切线与直线 axbyc0 垂直，则 的值为( D )abA B12e 2eC. D2e 12e5(2018襄城区校级一模)已知 f(x)sin x2cos x，实数 满足(f ()3f ()，则 tan 2( A )A B43 43C D724 724解析：由于函数 f(x)sin x 2cos x，(f()3f( )，则 03(sin 2cos 。

13、三月考)已知t为实数，f(x)(x24)(xt)且f(1)0，则t等于()A0B1CD2解析：选C.依题意得，f(x)2x(xt)(x24)3x22tx4，所以f(1)32t40，即t.3(2019温州模拟)已知函数f(x)x22x的图象在点A(x1，f(x1)与点B(x2，f(x2)(x1x20)处的切线互相垂直，则x2x1的最小值为()AB1CD2解析：选B.因为x1x20，f(x)x22x，所以f(x)2x2，所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f(x1)，f(x2)，因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，所以f(x1)f(x2)1.所以(2x12)(2x22)1，所以2x120，2x220，所以x2x1(2x12)(2x22)1，当且仅当(2x12)2x221，即x1，x2时等号成立所以x2x1的最小值为1.。

14、第一节第一节 变化率与导数变化率与导数导数的计算导数的计算 知识重温知识重温 一必记 5 个知识点 1平均变化率及瞬时变化率 1fx从 x1到 x2的平均变化率是：y x. 2fx在 xx0处的瞬时变化率是：lim x0 y x. 2导数的。

15、斜率等于的点为()A(，)B(，)或(，)C(2k，)(kZ)D(2k，)或(2k，)(kZ)4已知f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于()A4 B4C5 D55已知曲线yx3在点(2，8)处的切线方程为ykxb，则kb等于()A4 B4 C28 D286下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()Af(x)ex Bf(x)x3Cf(x)ln x Df(x)sin x7设正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是()A0，) B0，)C， D0，二、填空题8已知f(x)，g(x)mx，且g(2)，则m_.9已知f(x)x2，g(x)x3，则适合方程f(x)1g(x)的x的值为_10设曲线yex在点(0，1)。

16、2；(cos 2)0.不正确，故选B.2已知函数f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于()A4 B4C5 D5考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案A解析f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.3质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s，则质点在t4时的速度为()A. B.C. D.考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案B解析s.当t4时，s .4正弦曲线ysin x上切线的斜率等于的点为()A.B.或C.(kZ)D.或(kZ)考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案D解析设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，y在xx0处的导数为cos x0，x02k或2k，y0或.5直线yxb是曲线yln x(x&。

17、答案f(x0)x0.梳理导函数的定义若一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x)，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，简称为导数知识点二函数的导数公式函数导函数函数导函数yc(c是常数)y0ysin xycos xyx(是实数)yx1ycos xysin xyax(a0，a1)yaxln a特别地(ex)exytan xyylogax(a0，a1)y特别地(ln x)ycot xy1函数在一点处的导数f(x0)是一个常数()2函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值()3若f(x)sin x，则f(x)cos x()类型一求函数的导数例1(1)利用导函数的定义求函数f(x)(2x。

18、数值记为 f(x)：f(x) ，则f(x)是关于x的函数，称 的导函数，简称为 .,f(x)为f(x),导数,知识点二 函数的导数公式,sin x,axln a,0,cos x,ex,1.函数在一点处的导数f(x0)是一个常数.( ) 2.函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值. ( ) 3.若f(x)sin x，则f(x)cos x.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 求函数的导数,解答,例1 (1)利用导函数的定义求函数f(x)(2x1)(3x1)的导数，并求x0和x2处的导数值.,命题角度1 利用导函数定义求导数,解 f(x)(2x1)(3x1)6x2x1，,f(0)1，f(2)122125.,解答,反思与感悟 由导数的定义知，计算函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下： (1)通过自变量在x0处的改变量x确定函数yf(x)在x0处的改变量：yf(x0x)。

19、时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数.3瞬时变化率定义式实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢4导数的概念一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即.【注】函数在处的导数是在处的瞬时变化率.5导函数的概念如果函数在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称在区间(a，b)内可导这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数，于是在区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数(简称导数)，记为或，即.二、导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为yy0=f (x0)(xx0)；（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，。