二次函数代数问题

1、3，当1x4 时，其图象如图所示： 从图象可以看出当 2t11 时，抛物线 y=x22x+3 与直线 y=t 有交点，故关于 x 的一元二次方程 x2bx+3t=0 （t 为实数）在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是 2t11，故选择 A 方法二：把 y=x22x+3t（1x4）的图象向下平移 2 个单位时图象与 x 轴开始有交点，向下平移 11 个单 位时开始无交点，故 2t11，故选择 A 2. （2019淄博）将二次函数 2 4yxxa 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数 图象与直线 y2 有两个交点，则a的取值范围是 （ ） A. 3a B. 3a C. 5a D. 5a 【答案】D. 【解析】 22 4(2)(4)yxxaxa，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析式为 2 (1)(3)yxa， 令 2 2(1)(3)xa，即 2 240xxa， 由44(4)0a，得5a. 3. （2019湖州）。

2、数模型的构造，解答方法是通过利润公式根取值范围有关的问题。
首先，考察有关利润的函数模型的构造，解答方法是通过利润公式根 据题意找出等量关系；其次考察函数的最值计算、判断，解答方法是通过二次函数特性找到据题意找出等量关系；其次考察函数的最值计算、判断，解答方法是通过二次函数特性找到 函数的最值或在一定自变量范围内函数值的最值；再次通常考察利润在一定范围内时对应的函数的最值或在一定自变量范围内函数值的最值；再次通常考察利润在一定范围内时对应的 自变量取值范围，解答自变量取值范围，解答方法通常采用通过数形结合思想，画出函数图象根据题意找到答案。
方法通常采用通过数形结合思想，画出函数图象根据题意找到答案。
【典例示范】【典例示范】 类型一常规盈利问题类型一常规盈利问题 例例 1：（2019 湖北宜昌）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过 程下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 （万元）与销售时间 （月）之间的关系 （即前 个月的利润总和 和 之间的关系） 根据图象提供的信息，解答下列问题： 由已知图象上的三点坐标，求累积利润 （万元）。

3、方法是通过二次函数特性找到据题意找出等量关系；其次考察函数的最值计算、判断，解答方法是通过二次函数特性找到 函数的最值或在一定自变量范围内函数值的最值；再次通常考察利润在一定范围内时对应的函数的最值或在一定自变量范围内函数值的最值；再次通常考察利润在一定范围内时对应的 自变量取值范围，解答方法通常采用通过数形结合思想，画出函数图象根据题意找到答案。
自变量取值范围，解答方法通常采用通过数形结合思想，画出函数图象根据题意找到答案。
【典例示范】【典例示范】 类型一常规盈利问题类型一常规盈利问题 例例 1：（2019 湖北宜昌）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过 程下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 （万元）与销售时间 （月）之间的关系 （即前 个月的利润总和 和 之间的关系） 根据图象提供的信息，解答下列问题： 由已知图象上的三点坐标，求累积利润 （万元）与时间 （月）之间的函数关系式； 求截止到几月末公司累积利润可达到万元； 求第 个月公司所获利润是多少万元？ 【答案】 （1）； （2）截止到月末公司累积利润可达万元； （3。

4、常以圆的基本知识、与则常常是高难度的压轴题。
以二次函数为背景的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与 圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。
解答要点是结合相关知识，对于已知条件圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。
解答要点是结合相关知识，对于已知条件 进行数形结合。
进行数形结合。
【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 圆的基本性质应用圆的基本性质应用 例例 1：（2018-2019 学年湖南省长沙市天心区）如图，在直角坐标系中，抛物线 y=a（x- 5 2） 2+9 8与M 交于 A， B，C，D 四点，点 A，B 在 x 轴上，点 C 坐标为（0，-2） （1）求 a 值及 A，B 两点坐标； （2）点 P（m，n）是抛物线上的动点，当CPD 为锐角时，请求出 m 的取值范围； （3）点 E 是抛物线的顶点，M 沿 CD 所在直线平移，点 C，D 的对应点分别为点 C，D，顺次连接 A， C，D，E 四点，四边形 ACDE（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心 M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）A（1，。

5、速度动点和有速度点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点，从运动呈现方式分为无速度动点和有速度 动点，从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。
动点，从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。
【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 常规单动点问题常规单动点问题 例例 1： （广东省深圳市）已知二次函数 y=ax2+bx+3 的图象分别与 x 轴交于点 A（3，0） ，C（-1，0） ，与 y 轴交于点 B点 D 为二次函数图象的顶点 （1）如图所示，求此二次函数的关系式： （2）如图所示，在 x 轴上取一动点 P（m，0） ，且 1m3，过点 P 作 x 轴的垂线分别交二次函数图象、 线段 AD，AB 于点 Q、F，E，求证：EF=EP； （3）在图中，若 R 为 y 轴上的一个动点，连接 AR，则 10 10 BR+AR 的最小值_（直接写出结果） 【答案】 （1）y=-x2+2x+3； （2）见解析； （3）610 5 【解析】 解： （1）将 A（3，0） ，C（-1，0）代入 y=ax2+bx+3，得： 。

6、以二次函数为背景 的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内 容。
解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。
容。
解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。
【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 圆的基本性质应用圆的基本性质应用 例例 1：（2018-2019 学年湖南省长沙市天心区）如图，在直角坐标系中，抛物线 y=a（x-5 2） 2+9 8与M 交于 A， B，C，D 四点，点 A，B 在 x 轴上，点 C 坐标为（0，-2） （1）求 a 值及 A，B 两点坐标； （2）点 P（m，n）是抛物线上的动点，当CPD 为锐角时，请求出 m 的取值范围； （3）点 E 是抛物线的顶点，M 沿 CD 所在直线平移，点 C，D 的对应点分别为点 C，D，顺次连接 A， C，D，E 四点，四边形 ACDE（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心 M的坐标；若不存在，请说明理由 针对训练针对训练 1（江苏。

7、桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图） （1）求抛物线的解析式； （2）求两盏景观灯之间的水平距离,2.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”ADDCCB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？,练一练,谢 谢!,。

8、去年鱼塘里饲养鱼苗10千尾平均每千尾鱼的产量为1000kg今年计划继续向鱼塘里投放鱼苗，预计每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50kg今年应投放鱼苗多少千尾，才能使总产量最大？最大总产量是多少？,问题二：,1.某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为10米求当x等于多少米时，窗户的透光面积最大，最大面积是多少？,练一练：,2.某商品的进价为每件40元当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元每星期可多卖出20件在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；,练一练：,2.某商品的进价为每件40元当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元每星期可多卖出20件在确保盈利的前提下，解答下列问题：（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？（3）请画出上述函数的大致图像,练一练：,谢 谢!,。

9、题：压轴题分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到OCD的面积S=，再根据kS+32=0，及b0即可求出b的值；（2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2（16+8k2）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1x2）2+（y1y2）2，由（2）得y1y2=64，又易得x1x2=64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出AOB=90再过点A作AEx轴于点E，过点B作BFx轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明AEOOFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1OB+y2OA=0解答：（1）解：直线y=kx+b（b0）与x轴正半轴相交于点D，与y。

10、各种问题情景。
动点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点，从运动呈现方式分为无 速度动点和有速度动点，从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。
速度动点和有速度动点，从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。
【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 常规单动点问题常规单动点问题 例例 1 1： （广东省深圳市）已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象分别与 x轴交于点A（3，0） ，C（-1，0） ，与y轴 交于点B点D为二次函数图象的顶点 （1）如图所示，求此二次函数的关系式： （2）如图所示，在x轴上取一动点P（m，0） ，且 1m3，过点P作x轴的垂线分别交二次函数图象、 线段AD，AB于点Q、F，E，求证：EF=EP； 例例 2 2： （2019 年广西）如图，抛物线y=x 2-2x-3 与 x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴与抛物线 相交于点M，与x轴相交于点N，点P是线段MN上的一个动点，连接CP，过点P作PECP交x轴于点E （1）求抛物线的顶点M的坐标； （2）当点E与原点O的重合时，求点P的。

11、么?,55 5,55 13,2、图中所示的二次函数图像的解析式为：,1、求下列二次函数的最大值或最小值： y=x22x3; y=x24x,y=2x2+8x+13,某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？,来到商场,请大家带着以下几个问题读题,（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？,来到商场,分析:,调整价格包括涨价和降价两种情况,先来看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。
涨价x元时则每星期少卖_件，实际卖出_件,销额为 元，买进商品需付 _元因此，所得利润为。

12、时，抛物线开口 向 ，有最 点，函数有最 值，是 ；当 a0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 _ 。
,抛物线,上,小,下,大,高,低,1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 .,抛物线,直线x=h,(h，k),3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ， 顶点坐标是 。
当x= 时，y的最_值是_。
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点坐标是 。
当x= 时，函数有最 值，是 。
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ,顶点坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 。
,直线。

13、27cm解： 抛物线 的顶点在 轴上，2yxab.4()0b. 2a1 分（1） ， .b抛物线的解析式为 .21yx ， ，解得 ， . 1m10x22 分依题意，设平移后的抛物线为 .2()yk抛物线的对称轴是 ，平移后与 轴的两个交点之间的距离是 ，1xx4是平移后的抛物线与 轴的一个交点.(3,0)，即 .21k4变化过程是：将原抛物线向下平移 4 个单位. 4 分（2） . 6 分6m2. （2018 北京市朝阳区综合练习（一） ）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B.240yaxa（1）求点 A，B 的坐标；（2）若方程 24=x有两个不相等的实数根，且两根都在 1。

14、22.3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数 第第 1 课时课时 教学内容教学内容 22.3 实际问题与二次函数1 教学目标教学目标 1会求二次函数yax2bxc的最小大值 2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最。

15、点(m，n是实数)，当0x1x21时，求证：0mn.(1)解：乙求得的结果不正确理由如下：当x0时，y0；当x1时，y0，二次函数的图象经过点(0,0)，(1,0)，x10，x21，yx(x1)x2x，当x时，y，乙求得的结果不正确(2)解：对称轴为直线x，当x时，二次函数的最小值为y(x1)(x2).(3)证明：二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点，mx1x2，n(1x1)(1x2)，mnx1x2(1x1)(1x2)(x1x)(x2x)(x1)2(x2)20x1x21，0(x1)2，0(x2)2，0mn，x1x2，0mn.2(2019莆田质检)函数y1kx2axa的图象与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，函数y2kx2bxb的图象与x轴交于点C，D(点C在点D的左侧)，其。

16、的顶点坐标； 解题思路 将一般式化为顶点式即可得到顶点坐标 【解答】ymx22mxm1m(x1)21， 抛物线的顶点坐标为(1，1),例,典例精析,常考题型 精讲,3,(2)若抛物线经过点(3,5)，求抛物线的解析式； 解题思路 将点(3,5)代入到抛物线解析式得到m的值即可,4,(3)试说明抛物线与直线有两个交点； 解题思路 由ymx22mxm1和ymxm1可得mx22mxm1mxm1，整理，得mx(x1)0，即可知抛物线与直线有两个交点 【解答】由ymx22mxm1和ymxm1 可得mx22mxm1mxm1， 整理得mx2mx0，即mx(x1)0. m0，x10，x21， 抛物线与直线有两个交点,5,(4)若抛物线与直线相交于点M，N，且m3，则抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得MNG为直角三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由 解题思路 若MNG为直角三角形，则分三种情况： MGN90； MNG。

17、x521ky1)(2故函数与坐标轴仅有一个交点；（2）解： ，)21kxy函数 的顶点坐标为（ ，） ，k代入函数 得（ ） ，32kxy解得 或 ，3 或 ；25)1(21xxy 325)1(21xxy（3）解：当对称轴 时， ，abkk当 时，取最小值 ，x即 ，化简得 ，254)21kk 02k解得 （舍去）或 ；当对称轴 时， ，kk当 时，最小值恒为 ，故无解；xk当对称轴 时， ，k当 时，取最小值 ，x即 ，化简得 ，254)269kk 02k解得 （舍去）或 综上所述， 的值为 或 k2.已知二次函数 （ ） ，其中 .)(21xay0a21x（1）若 ， ， ，求二次函数顶点坐标；1ax42（2）若 ，当 时， ， 时， ，且 （ 为20y3x0ynxm2相邻整数） ，求 的值；nm（3）在（2）的条件下，已知点 ， 均在抛物线上，试比较。