二次函数的基础复习

1、1.2 二次函数的图像二次函数的图像(1) 回顾知识回顾知识: : 一、正比例函数一、正比例函数y=kx（k 0）其图象是什么。
）其图象是什么。
二、一次函数二、一次函数y=kx+b（k 0）其图象又是什么。
）其图象又是什么。
正比例函数正比例函数y=kx（k 0）其图象是一条经过）其图象是一条经过原点原点 的直线。
的直线。
一次函数一次函数y=kx+b（k 0）其图象也是一条直线。
）其。

2、 知识回顾知识回顾: : 二次函数二次函数y=ax 的图象及其特点？的图象及其特点？ 1、顶点坐标？、顶点坐标？ （0，0） 2、对称轴？、对称轴？ y轴（直线轴（直线x=0） 3、图象具有以下特点：、图象具有以下特点： 一般地，二次函数一般地，二次函数y=ax （ a0 ）的图象是一条抛物线；的图象是一条抛物线； 当当a0 时，抛物线开口时，抛物线开口向上向上，顶点是抛物线上的，顶点。

3、小结：应用二次函数的性质解决日常生小结：应用二次函数的性质解决日常生 活中的最值问题，一般的步骤为：活中的最值问题，一般的步骤为： 把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）；把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）； 在自变量的取值范围内求出最值；（在自变量的取值范围内求出最值；（数形结合找最值数形结合找最值） 求出函数解析式（求出函数解析式（包括自变量的取值范围包括自变量的取值范围）；）；。

4、 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个2.抛物线 y=x2+bx+c 图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图象的解析式为 y=x22x3，则 b、c的值为（ ） A. b=2，c=2 B. b=2，c=0 C. b=2，c= 1 D. b=3，c=23.（2017辽阳）如图，抛物线 y=x22x3 与 y 轴交于点 C，点 D 的坐标为（0 ，1），在第四象限抛物线上有一点 P，若PCD 是以 CD 为底边的等腰三角形，则点 P 的横坐标为（ ）A. 1+ B. 1 C. 1 。

5、第三单元第三单元 函数函数 第第 14 课时课时 二次函数的综合应用二次函数的综合应用 点对点课时内考点巩固60 分钟 1. 2019 陕西黑白卷已知抛物线 C1： yax24xc 与 x 轴交于 M4， 0和 N 两点， 且抛物线过点 A。

6、次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22x1x230，且a为整数，求a的值4、已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=3，求k的值及方程的根5、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1） 若a为正数，求a的值；（5分）（2） 若满足，求a的值.6、关于x的一元二次方程有实数根.（1） 求实数k的取值范围；（2） 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值.7、一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0m4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.。

7、二次函数为背景 的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内 容。
解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。
容。
解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。
【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 圆的基本性质应用圆的基本性质应用 例例 1：（2018-2019 学年湖南省长沙市天心区）如图，在直角坐标系中，抛物线 y=a（x-5 2） 2+9 8与M 交于 A， B，C，D 四点，点 A，B 在 x 轴上，点 C 坐标为（0，-2） （1）求 a 值及 A，B 两点坐标； （2）点 P（m，n）是抛物线上的动点，当CPD 为锐角时，请求出 m 的取值范围； （3）点 E 是抛物线的顶点，M 沿 CD 所在直线平移，点 C，D 的对应点分别为点 C，D，顺次连接 A， C，D，E 四点，四边形 ACDE（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心 M的坐标；若不存在，请说明理由 针对训练针对训练 1（江苏省无。

8、次函数图象的图形变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式一个是二次函数图象的图形变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式 表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。
表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。
另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。
对于此类问题首先要掌握每一种图形变另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。
对于此类问题首先要掌握每一种图形变 换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成方程解决问题。
方程解决问题。
【典例示范】【典例示范】 类型一、二次函数为背景的平移变换类型一、二次函数为背景的平移变换 例 1： （2018 年中考专题训练）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为 . （1）求抛物线的解析式； （2）将绕点 顺时针旋转后，点 落在点 的位置，将抛物线沿 轴平移后经过点 ，求平移后所得 图象的函数关系式；来源:学 作 A 点关于 x 轴的对称点 A（0，2） ，连接 AB, 设直线 AB 解析式 y=kx+b, 根据题意得：, 。

9、理面积；方法一：应用相似三角形性质，面积比等于相似比平方处理面积； 方法二：方法二： 同底等高类的三角形面积：同底等高类的三角形面积： 当两个三角形同底（高）等高（底）时，两个三角形的面积相等，同底（高）且高（底）不等的两个当两个三角形同底（高）等高（底）时，两个三角形的面积相等，同底（高）且高（底）不等的两个 三角形面积之比等于高（底）之比三角形面积之比等于高（底）之比 方法三：割补法，一些情况下，三角形和四边形的面积可以采用割补法解决；方法三：割补法，一些情况下，三角形和四边形的面积可以采用割补法解决； 坐标系中的三角形面积可以采用平行线相切法坐标系中的三角形面积可以采用平行线相切法 例如：求抛物线在直线例如：求抛物线在直线 AC 上方一点，使得上方一点，使得 PAC 面积最大，当把直线面积最大，当把直线 AC 向上平移时，与抛物线的向上平移时，与抛物线的 切点即为满足条件的切点即为满足条件的 P 点，因此，若直线点，因此，若直线 AC 斜率为斜率为 k，则可以设一条直线解析式为，则可以设一条直线解析式为 y=kx+b，该直线与抛，该直线与抛 物线联立的方程有两个相等实数根时，。

10、考点梳理】考点一、二次函数的定义 一般地，如果（a、b、c是常数，a0），那么y叫做x的二次函数要点诠释： 二次函数(a0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2(2)二次项系数a0考点二、二次函数的图象及性质1.二次函数(a0)的图象是一条抛物线，顶点为2.当a0时，抛物线的开口向上；当a0时，抛物线的开口向下3.|a|的大小决定抛物线的开口大小|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大 c的大小决定抛物线与y轴的交点位置c0时，抛物线过原点；c0时，抛物线与y轴交于正半轴；c0时，抛物线与y轴交于负半轴 ab的符号决定抛物线的对称轴的位置当ab0时，对称轴为y轴；当ab0时，对称轴在y轴左侧；当ab0时，对称轴在y轴的右侧 4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到将向上移动k个单位得：将向左移动h个单位得：将先向上移动k(k0)个单位，再向右移动h(h0)个单位，即得函数的图象5。

11、其中，则，的大小关系是（ ） A B C D3函数与在同一坐标系中的大致图象是（）4二次函数的图,象如图所示，那么、这四个代数式中，值为正的有（ ）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个21世纪教育网 5如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AEDP，垂足为E，设DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是( )(A) (B) (C) (D)6如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数 (x0)的图象上，则点E的坐标是( ) A. B. C. D.二、填空题7如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续。

12、圆的基本知识、与则常常是高难度的压轴题。
以二次函数为背景的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与 圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。
解答要点是结合相关知识，对于已知条件圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。
解答要点是结合相关知识，对于已知条件 进行数形结合。
进行数形结合。
【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 圆的基本性质应用圆的基本性质应用 例例 1：（2018-2019 学年湖南省长沙市天心区）如图，在直角坐标系中，抛物线 y=a（x- 5 2） 2+9 8与M 交于 A， B，C，D 四点，点 A，B 在 x 轴上，点 C 坐标为（0，-2） （1）求 a 值及 A，B 两点坐标； （2）点 P（m，n）是抛物线上的动点，当CPD 为锐角时，请求出 m 的取值范围； （3）点 E 是抛物线的顶点，M 沿 CD 所在直线平移，点 C，D 的对应点分别为点 C，D，顺次连接 A， C，D，E 四点，四边形 ACDE（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心 M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）A（1，0）。

13、北京各校九年级数学中考复习训练：二次函数基础一二次函数顶点式共6小题1抛物线的顶点坐标为ABCD2二次函数的图象的顶点坐标是ABCD3二次函数的最大值是ABC1D24如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点若顶点到轴的距离为8，则线段。

14、现 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、二次函数的定义二次函数的定义 一般地，如果 2 yaxbxc（a、b、c 是常数，a0） ，那么 y 叫做 x 的二次函数 要点诠释：要点诠释： 二次函数 2 yaxbxc(a0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次 式，x 的最高次数是 2(2)二次项系数 a0 考考点二、二次函数的点二、二次函数的图象图象及性质及性质 1.二次函数 2 yaxbxc(a0)的图象是一条抛物线，顶点为 2 4 , 24 bacb aa 2.当 a0 时，抛物线的开口向上；当 a0 时，抛物线的开口向下 3.|a|的大小决定抛物线的开口大小|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大 c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置c0 时，抛物线过原点；c0 时，抛物线与 y 轴交于正半 轴；c0 时，抛物线与 y 轴交于负半轴 ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置当 ab0 时，对称轴为 y 轴；当 。

15、x 的图象上， 则 123 yyy、 、的大小关系是( ) A. 123 yyy B. 123 =yyy C. 132 yyy D. 123 yyy 3函数 2 yaxbyaxbxc和在同一直角坐标系内的图象大致是( ) 4.如图是二次函数yax 2bxc 图象的一部分，图象过点A（3，0） ， 对称轴为x1给出四个结论：b 24ac；2ab=0；abc=0； 5ab其中正确结论是（ ） A B. C. D. 5.抛物线y=ax 2+bx+c 图象如图所示， 则一次函数 2 4bacbxy与反比例函数 x cba y 在同一坐 标系内的图象大致为（ ） 6.矩形ABCD中，8cm6cmADAB， 动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s 的速度运动至点 B 停止， 动点F从点C同时出发沿边CD向点D以 1cm/s 的速度运动 至点D停止如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s） ，此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位。

16、察二次函数最值讨论解决实际问二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问 题。
题。
【典例示范】【典例示范】 类型类型一一 临界点讨论临界点讨论 例例 1 1：（2018河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台 AB 距 x轴（水平）18 米，与 y轴交于点 B，与 滑道 y= （x1）交于点 A，且 AB=1米运动员（看成点）在 BA 方向获得速度 v米/秒后，从 A 处向右下 飞向滑道，点 M 是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离 h（米）与飞出时间 t （秒）的平方成正比，且 t=1时 h=5，M，A的水平距离是 vt米 （1）求 k，并用t表示 h； （2）设 v=5用 t 表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y，并求 y与 x 的关系式（不写 x 的取值范围） ，及 y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙同时从 A 处飞出，速度分别是 5 米/秒、v乙米/秒当甲距 x 轴 1.8 米，且乙位于甲右 侧超过 4.5 米的位置时，直接写出 t的值及 v乙的范围 针对训练针对训。

17、过考察二次函数最值讨论解决实际问二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问 题。
题。
【典例示范】【典例示范】 类型类型一一 临界点讨论临界点讨论 例例 1 1：（2018河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台 AB 距 x 轴（水平）18 米，与 y 轴交于点 B，与 滑道 y= （x1）交于点 A，且 AB=1米运动员（看成点）在 BA方向获得速度 v米/秒后，从 A 处向右下 飞向滑道，点 M 是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离 h（米）与飞出时间 t （秒）的平方成正比，且 t=1时 h=5，M，A的水平距离是 vt米 （1）求 k，并用 t表示 h； （2）设 v=5用 t 表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y，并求 y与 x 的关系式（不写 x 的取值范围） ，及 y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙同时从 A 处飞出，速度分别是 5 米/秒、v乙米/秒当甲距 x 轴 1.8 米，且乙位于甲右 侧超过 4.5 米的位置时，直接写出 t的值及 v乙的范围 2 。

18、察二次函数最值讨论解决实际问二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问 题。
题。
【典例示范】【典例示范】 类型类型一一 临界点讨论临界点讨论 例例 1 1：（2018河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台 AB 距 x 轴（水平）18 米，与 y 轴交于点 B，与 滑道 y= （x1）交于点 A，且 AB=1米运动员（看成点）在 BA 方向获得速度 v米/秒后，从 A处向右下 飞向滑道，点 M 是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离 h（米）与飞出时间 t （秒）的平方成正比，且 t=1时 h=5，M，A的水平距离是 vt米 （1）求 k，并用 t表示 h； （2）设 v=5用 t 表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y，并求 y与 x 的关系式（不写 x 的取值范围） ，及 y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙同时从 A 处飞出，速度分别是 5 米/秒、v乙米/秒当甲距 x 轴 1.8 米，且乙位于甲右 侧超过 4.5 米的位置时，直接写出 t的值及 v乙的范围 k=18。

19、过考察二次函数最值讨论解决实际问二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问 题。
题。
【典例示范】【典例示范】 类型类型一一 临界点讨论临界点讨论 例例 1 1：（2018河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台 AB距 x 轴（水平）18 米，与 y轴交于点 B，与 滑道 y= （x1）交于点 A，且 AB=1 米运动员（看成点）在 BA方向获得速度 v米/秒后，从 A 处向右下 飞向滑道，点 M 是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离 h（米）与飞出时间 t （秒）的平方成正比，且 t=1时 h=5，M，A的水平距离是 vt米 （1）求 k，并用t表示 h； （2）设 v=5用 t 表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y，并求 y与 x 的关系式（不写 x 的取值范围） ，及 y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙同时从 A 处飞出，速度分别是 5 米/秒、v乙米/秒当甲距 x 轴 1.8 米，且乙位于甲右 侧超过 4.5 米的位置时，直接写出 t的值及 v乙的范围 针对训练针。