二次函数图像题

1、在，并且和其它问题相交织。
二次函数背景下的图形变换主要分成两类：二次函数背景下的图形变换主要分成两类： 一个是二次函数图象的图形变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式一个是二次函数图象的图形变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式 表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。
表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。
另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。
另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。
对于此类问题首先要掌握每一种图形变对于此类问题首先要掌握每一种图形变 换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成方程解决问题。
换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成方程解决问题。
【典例示范】【典例示范】 类型一、二次函数为背景的平移变换类型一、二次函数为背景的平移变换 例 1： （2018 年中考专题训练）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为 . （1）求抛物线的解析式； （2）将绕点 顺时针旋转后，点 落在点 的位置，将抛物线沿 轴平移后经过点 ，求平移后所得 图象的函数关系式； （3） 设 （2） 中平移后， 所得抛物线。

2、若将ADE绕点D逆时针旋转90，E点的对应点E会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由2（2014黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积3（2014湘潭）已知二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，（1）求二次函数解析式；（2）若=，求k；（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k。

3、观察图像： 函数y (x3)2 2有哪些性质？,y x2,y (x3)2,向左移 3个单位,y (x3)2 2,向上移 2个单位,yx2,y (x3)2,y (x3)22,变式：二次函数y (x1)2 6的图像和yx2的图像的位置有什么关系？,探索发现,5.2 二次函数的图像和性质(4),y x22x3, (x1)22,由活动一可知：函数y (x1)22的图像可以看成yx2平移得到，即y x22x3是函数yx2先向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到的,x22x12,转化思考,5.2 二次函数的图像和性质(4),解：yx24x5,你能将函数yx24x5 转化为ya(xm)2k的形式吗？, (x24x) 5, (x2 4x 44) 5, (x2) 245, (x2) 2 1,转化思考,5.2 二次函数的图像和性质(4),解：yax2bxc,你能将函数yax2bxc 转化为ya(xm)2k的形式。

4、并与同学交流,这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点,看一看,5.2 二次函数的图像和性质(2),这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最高点,说一说,函数 和 、 和 的图像各有什么特征，并与同学交流,5.2 二次函数的图像和性质(2),1二次函数yax的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴,2当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点,3当a0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点,记一记,5.2 二次函数的图像和性质(2),观察yax的图像，你还能发现什么？,a0时，y轴左边的图像下降，y轴右边的图像上升.,a0时，y轴左边的图像上升，y轴右边的图像下降.,想一想,5.2 二次函数的图像和性质(2),如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降？,a0时，由y轴左边的图像下降可以知道：当x0时，随。

5、两个函数的函数值 y 有什么关系？,探索发现,5.2 二次函数的图像和性质(3),（2）描点、连线,从对应点的位置看：函数yx21的图像和yx2的图像的位置有什么关系？,（3）根据图像，函数yx21的图像有哪些性质？,猜想：函数yx22的图像和y=x2的图像的位置有何关系？函数yx22的图像有哪些性质？,探索发现,5.2 二次函数的图像和性质(3),由上面的例子，你发现二次函数yax2k的图像与函数yax2的图像有什么关系？,二次函数 yax2 k（ k 0）的图像是由二次函数 yax2 的图像沿y 轴向平移个单位长度得到的一条直线,二次函数 yax2 k （ k 0）的图像是由二次函数 yax2的图像沿 y 轴向平移 个单位长度得到的一条直线,上,k,下,k,二次函数yax2 k顶点坐标是 ，对称轴是 ,（0，k）,y轴,归纳概括,5.2 二次函数的图像和性质(3),在同一平面直角坐标系中画出函数y 。

6、征,抛物线关于y轴对称,当x0时，y随x增大而增大,抛物线开口向上,当x0时，y随x增大而减小,图像有最低点，过（0,0） y有最小值,议一议,5.2 二次函数的图像和性质(1),例2 画出yx2图像,画一画,5.2 二次函数的图像和性质(1),观察函数yx2图像，说出图像的特征,抛物线关于y轴对称,当x0时，y随x增大而减小,抛物线开口向下,当x0时，y随x增大而增大,图像有最高点，过(0,0) y有最大值,议一议,5.2 二次函数的图像和性质(1),比较函数yx2与yx2图像，说出图像特征的异同点,说一说,如果是函数y2x2与y2x2 的图像呢？,5.2 二次函数的图像和性质(1),练一练,在同一坐标系上画函数y2x，y2x ， y x和y x 图像，并说出图像特征,5.2 二次函数的图像和性质(1),本节课我们学习了什么？你还有什么疑问？,谈一谈,5.2 二次函数的图像和性质(1),谢 谢!,。

7、的正半轴相交；c0，抛物线过原点；c0时，抛物线与x轴有两个交点；b24ac0时，抛物线与x轴没有交点；b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点,热点看台 快速提升,典例分析1 (2013四川资阳)如图，抛物线yax2bxc(a0)过点(1，0)和点(0，2)，且顶点在第三象限，设Pabc，则P的取值范围是( ) A. 4P0 B. 4P2 C. 2P0 D. 1P0,热点看台 快速提升,B,B,热点看台 快速提升,热点二 二次函数图像的变换 热点搜索 (1)二次函数平移的变化规律为：抛物线yax2向左(或右)平移个单位可得ya(xh)2的图像；再向上(或下)平移个单位可得到ya(xh)2k的图像平移的口诀是“左加右减，上加下减”(2)二次函数图像的旋转：绕原点旋转180，根据关于中心对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标，最后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状写出解析式即可绕顶点旋转：抛物线绕顶点旋转180后，顶点和对称轴都不变，只是开口方向改。

8、对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90得到线段MB，且点B恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由2如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN的面积3在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上（1）已知a=1，点B的纵坐标为2如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式（2）如图3，若BD=。

9、点M，使MAC和MBC都是等腰三角形直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PEAC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由2已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（3，1），对称轴是经过（1，0）且平行于y轴的直线（1）求m、n的值；（2）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式3如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标4在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交。

10、 3102 2 xxy 请说出该抛物线的开口方向、顶点坐标、请说出该抛物线的开口方向、顶点坐标、 对称轴对称轴 y=ax +bx+c =a（ （x2+ x）+c a b =ax2+ x+ +c a b 2 2 a b 2 2 a b = a(x+ )2 + a b 2 a bac 4 4 2 y=ax +bx+c a bac a b xay 4 4 ) 2 ( 2 。

11、 知识回顾知识回顾: : 二次函数二次函数y=ax 的图象及其特点？的图象及其特点？ 1、顶点坐标？、顶点坐标？ （0，0） 2、对称轴？、对称轴？ y轴（直线轴（直线x=0） 3、图象具有以下特点：、图象具有以下特点： 一般地，二次函数一般地，二次函数y=ax （ a0 ）的图象是一条抛物线；的图象是一条抛物线； 当当a0 时，抛物线开口时，抛物线开口向上向上，顶点是抛物线上的，顶点。

12、x3)2,向左移 3个单位,y (x3)2 2,向上移 2个单位,yx2,y (x3)2,y (x3)22,变式：二次函数y (x1)2 6的图像和yx2的图像的位置有什么关系？,探索发现,y x22x3, (x1)22,由活动一可知：函数y (x1)22的图像可以看成yx2平移得到，即y x22x3是函数yx2先向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到的,x22x12,转化思考,解：yx24x5,你能将函数yx24x5 转化为ya(xm)2k的形式吗？, (x24x) 5, (x2 4x 44) 5, (x2) 245, (x2) 2 1,转化思考,解：yax2bxc,你能将函数yax2bxc 转化为ya(xm)2k的形式吗？, a (x2 x) c, a (x ) 2 c,转化思考,二次函数yax2bxc 的图像是一条抛物线，顶点是（ ， ）,对称轴是。

13、从对应点的位置看：函数yx21的图像和yx2的图像的位置有什么关系？,（3）根据图像，函数yx21的图像有哪些性质？,猜想：函数yx22的图像和y=x2的图像的位置有何关系？函数yx22的图像有哪些性质？,探索发现,由上面的例子，你发现二次函数yax2k的图像与函数yax2的图像有什么关系？,二次函数 yax2 k（ k 0）的图像是由二次函数 yax2 的图像沿y 轴向平移个单位长度得到的一条直线,二次函数 yax2 k （ k 0）的图像是由二次函数 yax2的图像沿 y 轴向平移 个单位长度得到的一条直线,上,k,下,k,二次函数yax2 k顶点坐标是 ，对称轴是 ,（0，k）,y轴,归纳概括,在同一平面直角坐标系中画出函数y x2和y (x3)2的图像,（1）填表,从表格的数值看：函数y (x3)2与函数yx2的函数值相等时，它们所对应的自变量 x 的值有什么关系？,。

14、0,0） y有最小值,议一议,例2 画出yx2图像,画一画,观察函数yx2图像，说出图像的特征,抛物线关于y轴对称,当x0时，y随x增大而减小,抛物线开口向下,当x0时，y随x增大而增大,图像有最高点，过(0,0) y有最大值,议一议,比较函数yx2与yx2图像，说出图像特征的异同点,说一说,如果是函数y2x2与y2x2 的图像呢？,练一练,在同一坐标系上画函数y2x，y2x ， y x和y x 图像，并说出图像特征,本节课我们学习了什么？你还有什么疑问？,谈一谈,。

15、顶点是抛物线的最低点,看一看,这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最高点,说一说,函数 和 、 和 的图像各有什么特征，并与同学交流,1二次函数yax的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴,2当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点,3当a0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点,记一记,观察yax的图像，你还能发现什么？,a0时，y轴左边的图像下降，y轴右边的图像上升.,a0时，y轴左边的图像上升，y轴右边的图像下降.,想一想,如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降？,a0时，由y轴左边的图像下降可以知道：当x0时，随着x增大y减小；,a0时，由y轴左边的图像上升可以知道：当x0时，随着x增大y增大,想一想,（1）a0时， 当x0时，y随x的增大而减小； 当x0时，y随x的增大而增大； 当x0时，y有最小值，最小值为0,（2）a0时， 当x0时。

16、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像如图4-ZT-1所示,现给出以下结论:abc0;c+2a0;9a-3b+c=0;a-bm(am+b)(m为实数);4ac-b23 B.a5 D.ay2y1 B.y3y1=y2C.y1y2y3 D.y1=y2y35.二次函数的图像如图4-ZT-。

17、在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。
x叫自变量， y叫应变量。
,基础回顾 什么叫函数?,二次函数,函数知多少,节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？,抛物线型桥拱,奥运赛场腾空的篮球,y=6x2,情景引入：问题1,二、导入新课,正方体六个面是全等的正方形,设正方形棱长为 x,表面积为 y, 则 y 关于x 的关系式为_.,此式表示了正方体的表面积y与棱长x之间的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数.,n,(n3),即:,n,1、探究新知： 问题2,多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有_个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可作_条对角线.因此,n边形的对角线总数 d =_.,此式表示了多边形的对角线数d与 边数n之间的关系, 对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.。

18、 课程标准浙教版实验教科书课程标准浙教版实验教科书 九年级九年级 上上 册册 知识回顾知识回顾: : 时，图象将发生怎样的变化？时，图象将发生怎样的变化？ 二次函数二次函数y=ax y = a(x+m)2 y = a(x+m)2 +k 1、顶点坐标？、顶点坐标？ （0，0） （m，0） （ m，k ） 2、对称轴？、对称轴？ y轴（直线轴（直线x=0） （直线（直线x= 。

19、1.2 二次函数的图像二次函数的图像(1) 回顾知识回顾知识: : 一、正比例函数一、正比例函数y=kx（k 0）其图象是什么。
）其图象是什么。
二、一次函数二、一次函数y=kx+b（k 0）其图象又是什么。
）其图象又是什么。
正比例函数正比例函数y=kx（k 0）其图象是一条经过）其图象是一条经过原点原点 的直线。
的直线。
一次函数一次函数y=kx+b（k 0）其图象也是一条直线。
）其。

20、 知识回顾知识回顾: : 二次函数二次函数y=ax 的图象及其特点？的图象及其特点？ 1、顶点坐标？、顶点坐标？ （0，0） 2、对称轴？、对称轴？ y轴（直线轴（直线x=0） 3、图象具有以下特点：、图象具有以下特点： 一般地，二次函数一般地，二次函数y=ax （ a0 ）的图象是一条抛物线；的图象是一条抛物线； 当当a0 时，抛物线开口时，抛物线开口向上向上，顶点是抛物线上的，顶点。