高斯小学奥数六年级破镜重圆

1、 （1）首先从传球者角度考虑传球方法； （2）其次从接球者角度考虑如何累加； 3. 可以使用传球法的题型； （1）对相邻数位上的数字大小有要求的计数问题； （2）环形染色问题 四、插板法 用于求解“把 m 个相同相同 的球放到 n 个不同不同 的盒子中”这类问题 a) 注意：球必须是相同的，盒子必须是不同的 b) 如果要求每个盒子至少一个球，那么方法数为 1 1 n m C （把1n个板插到1m个 空隙中） c) 如果要求每个盒子可以为空，那么方法数为 1 1 n m n C （先借 n 个球，然后按照每 个盒子至少 1 个去放，最后再从每个盒子中拿出 1 个还回去） d) 对其它情况，如：每个盒子至少 2 个，或者某些盒子可以没有，某些盒子至少 2 个等，则需要做相应调整后才可应用上述结果 五、对应法解计数问题 关键在于看出问题的本质，根据问题本质找到合适的方法，进行解题 六、对于可以旋转或者可以翻转的题目，解题时要注意区分是否是不同情形 这种题目通常要先固定一个部分，使之不能旋转或翻转，如果固定一个不够，则还 需要再固定一个。

2、差，路程为火车的车长 3. 火车错车问题： （1） 快车追上并超过慢车：路程差等于两车的车长之和 （2） 两车相遇并错车：路程和等于两车的车长之和 三、 流水行船问题： ； 四、 环形路线问题： 1. 从同一点出发反向而行：相遇的路程和为环形路线一圈的长度 2. 从同一点出发同向而行：追及的路程差为环形路线一圈的长度 3. 在环形问题中，运动总是呈现出很强的周期性 五、 多次往返运动： 1. 从两端出发，相向而行：第 1，2，3，4次迎面相遇的路程和分别为 1，3，5， 7，个全程 从两端出发，相向而行：第 1，2，3，4，次背后追及的路程差分别为 1，3，5， =2水速 (顺水速度-逆水速度) =+2船速 (顺水速度 逆水速度) 顺水速度船速水速；逆水速度船速水速； 路程车长 桥长 追及时间路程差 速度差 速度差路程差 追及时间 路程差速度差 追及时间 相遇时间路程和 速度和 速度和路程和 相遇时间 路程和速度和 相遇时间 路程速度 时间；速度路程 时间；时间路程 速度 7，个全程 2. 从同一端。

3、小球分别装入颜色为红、黄、蓝的三个袋子里，又有多少种装法呢？ 其实，所谓装入红、黄、蓝三个袋子，就是把球分成三堆，因此答案也是 28这样我 们就把“小球装袋”问题转化成“小球插板”问题来求解了，这种方法我们称之为“插 板法” “插板法”是一种特殊的对应技巧，能够帮我们解决很多计数问题 例1 把 20 个苹果分给 3 个小朋友， 每个小朋友至少分 1 个， 共有多少种分苹果的方法？ 如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？ 【分析】 分析分析 题目的第一问与我们上面的小球插板问题非常相似， 如何用 “插板法” 求解呢？ 第二问允许有的“小朋友没有分到苹果” ，还能不能用“插板法”呢？ 练习 1、龟丞相把 7 个顶级乌龟壳分给 4 只小乌龟 如果每只小乌龟至少分一 个，共有多少种分法？如果可以有的小乌龟没有分到乌龟壳，共有多少种方 法？ 例2 某班 40 名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在 “应该提供” 、 “不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择请问：三个选项的 统计数字共有多少种不同的可能？ 分析分析题目只关心。

4、数，从情况唯一或较少的数字填起； （2）分析方法同上一问，注意是否 一定能填出 练习 1、把 1、2、13、14 按合适的顺序填在图中第二行的空格中，使得每列的两 个数之和都是平方数 例2 （1）能否将 1 至 15 排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？ （2）能否将 1 至 15 排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？ 分析分析 （1）对于 115 的每一数来说，能都凑成平方数的情况并不多，我们就可以从 这里入手分析，同学们尝试一下看能不能得到一种合适的方案 （2）注意到除了 2 以外，质数只能是奇数，那我们是不是能从奇偶性的分析入手呢？ 练习 2、能否将 1 至 41 排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？ 例3 有3堆石子， 每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子 （每次这个数目可以改变） ， 也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中请问： （1）如果开始时，3 堆石子的数目分别是 34、55、82，按上述操作，能否把 3 堆石子 都拿光？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 。

5、 3. 把 2 7 化成循环小数，小数点后第 2010 个数字是_ 4. 2010 的全部约数有_个，这些约数的和数是_ 5. （1）如果123ab能被 72 整除，则ab _ （2）如果2010 2010 2010ab能被 99 整除，则ab _ 6. 两个自然数的最大公约数是 100，最小公倍数是20100，这两个自然数的差是 6400，那么这两个自 然数的和是_ 7. 已知a是质数，b是偶数，且 2 2010ab，则ab_ 8. 萱萱家的门牌号是一个三位回文数aba，其中ab和ba都是质数，且aba是 9 的倍数，那么萱萱家 的门牌号是_ 二、填空题二、填空题（本题共有 4 小题，每题 7 分） 9. 三个自然数A、210、2010 的乘积是一个完全平方数，则A最小是_ 10. 将 27 表示成一些合数的和，这些合数的积最大是_ 11. 自然数甲有 10 个约数，那么甲的 10 倍的约数个数可能是_。

6、车之间的距离固定， 记住以下图片： 一般来说，题目中会有以下条件： “每隔 x 分和一辆车相遇” ，它的意思是在和某辆车相 遇开始算，再过 x 分钟，会遇到下一辆车，此时，需要牢记以下 3 个公式： 1. 车距= 车速汽车发车时间间隔 2. 车距=（车速+行人速度） 相遇事件时间间隔； 3. 车距=（车速行人速度） 追及事件时间间隔； 例1 小高放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度 不停地运行已知小高步行的速度是 1 米/秒，公共汽车的速度是 9 米/秒，每隔 9 分钟 就有辆公共汽车从后面超过他， 那么每隔多少分钟会有一辆公共汽车与小高迎面相遇？ 分析分析 当有公共汽车从后面超过小高时， 可以将小高与公共汽车之间看做是追击问题， 那么， 这个追击问题的路程差是什么？当有公共汽车与小高迎面相遇时可以将小高与公 共汽车之间看做是相遇问题 练习 1、墨莫放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不 变速度不停地运行公共汽车的速度是 540 米/分，墨莫步行的速度是 1 米/秒，每隔。

7、种 3. 从 1000 到 2010 中，十位数与个位数相同的数有_个 4. 在用数字 0、1 组成一个 6 位数中，至少有 4 个连续的 1 的数共有_个 5. 3 个海盗分 30 枚金币，如果每个海盗最多分 12 枚，一共有_种不同的分法 6. 右图中有_条线段，_个三角形，_个梯形 A B C D E F 7. 一台综艺节目， 由 2 个不同的舞蹈和 3 个不同的演唱组成 如果第一个节目是舞蹈， 那么共有_ 种不同的安排方法 8. 有身高各不相同的 5 个孩子，按下列条件排成一行： 条件 1：最高的孩子不排在边上 条件 2：最高的孩子的左边按由高到矮向左排列 条件 3：最高的孩子的右边按由高到矮向右排列 那么符合上述所有条件的排队方法有_种 二、填空题二、填空题（本题共有 4 小题，每题 7 分） 9. （1）平面上 7 个点，任意三点不共线，那么可以连出_个三角形 （2）两条平行线上各有 4 个点，从这些点中任取 3 个作为顶点，可以连出_个三角。

8、则三角形 ADC 的面积为_平方厘米 3. 如图，长方形草地 ABCD 被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四 份，其中图形甲的长和宽的比是:2:1a b ，那么图形乙的长和 宽的比是_ 4. 如右图，有三个正方形 ABCD、BEFG 和 CHIJ，其中正方形 ABCD 的 边长是 12，正方形 BEFG 的边长是 8，那么三角形 DFI 的面积是 _ 5. 如图，这是由一个半径为 4 的圆把四分之一的圆周翻折而得的图形，此图 形的面积为_ （取3.14） A D B C F E A B C D E F G H I J B A C D O A B C D a b 甲 乙 丙 丁 E F G 6. 如图，ABCD 是边长为 10 厘米的正方形，且 AB 是半圆的直径，则阴影部分 的面积是_平方厘米 （ 取 3.14） 7. 把一根长 2.4 米的长方体木料锯成 5 段（如图） ，表面积比原 来增加了 96 平方厘米 这根木料原来的体积是_立方 厘米 8. 如图，棱长分别为。

9、 1 3 2 5 4 6 _ 5. 111111 3 44 55 6677 88 9 _ 6. 1111 20101111 3452010 _ 7. 123456789999999999_ 二二、填空填空题题（本题共有4小题，每题5分） 8. 8121620242832 15356399143195255 _ 9. 22 2.014.02 7.997.99_ 10. 123456789200820092010_ 11. 11371 15210.6250.71.8757 42414122 414 332.47.5 515 _ 三三、填空填空题题（本题共有 4 小题，每题 6 分） 12. 适合不等式。

10、ADa BCb ，则 1234 :_:_:_:_SSSS 已知 AB/CD，则有 D C O A B _:_=_:_ b a S2 S1 a b S2 S1 a b S2 S1 S1 a S2 b A B C D E A C D B E A B C D E = ADE ABC S S 6 燕尾模型燕尾模型 7 金字塔模型金字塔模型 8 直角三角形； （1）勾股定理； （2）斜边上的中线是斜边的一半； （3）一个角为 30的直角三角形中，短直角边为斜边的一半； 二、 基本解题方法 1 求角度 （1）n 边形内角和，外角和 360 ； （2）三角形中，一个外角等于不相邻的两个内角之和 2 求长度 （1）面积反求； （2）比例关系； （3）勾股定理 3 求面积 （1）公式法 （2）面积关系法 i 比例；ii 割补；iii 等积变换 2180n A C B D E 已知 DE/BC，则： （1） AD DB ； （2） DE BC a b a b。

11、不同，扶梯问题通常会考虑“人走的路程”和“电梯带 人走的路程” ，所以在解题时通常需要把路程分拆 3 解题时注意比例法的应用 二 优化配置问题 注意“极值”发生时的状况； 三 往返接送 一般的往返接送问题的过程如下： 1 车载甲出发，乙步行前进； 2 在某地甲下车，甲、乙步行，车返回接乙； 3 车接上乙后继续向目的地前进，甲、乙同时到达终点 往返接送的不同类型： 1 车速不变，人速相同； 此时图是对称的，即甲、乙会走同样多路程，此时只要把和两个 过程合并起来考虑即可 2 车速不变，人速不同； 此时两人走的路程不同（走的快的人会多走一些） ，所以需要先把、 过程合并，再把、过程合并，用这两次过程分别计算比例 3 车速不同，人速相同； 4 车速不同，人速不同； 5 多组往返接送 A B 甲 乙 例1 自动扶梯由下向上匀速运动，每两秒向上移动了 1 级台阶卡莉娅在扶梯向上行走， 每秒走两级台阶已知自动扶梯的可见部分共 120 级，卡莉娅沿扶梯向上走，从底部走 到顶部的过程中，她共走了多少级台阶？ 分析分析。

12、 甲乙异侧出发：当路程和为 1、3、5、个全长时，两人迎面相遇； 当路程差为 1、3、5、个全长时，两人追上； （2） 甲乙同侧出发：当路程和为 2、4、6、个全长时，两人迎面相遇； 当路程差为 2、4、6、个全长时，两人追上； （3） 注意“相遇”和“迎面相遇”的区别， “相遇”包括迎面相遇和背后追上 （4） 当在两端相遇时，既算迎面相遇也算背后追上 2 对次数比较少的迎面相遇或追上，注意进行估算何时会相遇； 3 对次数比较多的迎面相遇或追上，先计算周期，再看在一个周期内，两人会相遇 几次 三 环形路线中的变速问题，和前面类似，重点依然是估算和周期 例1 骑自行车从公主坟校区到望京校区，以每小时 10 千米的速度行进，下午 1 时到；以 每小时 15 千米的速度行进，上午 11 时到 （1）公主坟校区与望京校区的距离是多少千米？ （2）如果希望中午 12 时到，应以怎样的速度行进？ 分析分析 （1）可以利用行程中的正反比例解题； （3）确定出发时间很重要 练习 1、小红帽去姥姥家，途中要经过上坡、平路和下坡各一段，路程比是 3:2:1已 知小红帽。

13、8512.3 13 1854 分析分析把除号变乘号，带分数化为假分数计算的时候，多留意观察，看看有没有哪些步 骤能够用到巧算 例题 1 计算： 59 1935.22 1993 0.41.6 910 527 1995 0.51995 1965.22 950 分析分析此题比上一题看起来更加复杂了，我们可以先把它分成两个部分：左边的分式与右 边的和式左边的分式，分子与分母有什么联系呢？对于右边的和式，通分显然一种很好的 选择 例题 3 练习 2 计算： 9173 923 6 3532411 2 3111 17 634 5134 计算： 711 4 7 1826 2 135 8 133 3416 分析分析题目看上去很繁，似乎需要大量的计算对于这种含有带分数的运算，我们一般先 把带分数化成假分数，这样可以便于乘除法中进行约分 例题 2 接下来我们学习一种特殊的计算技巧：换元法请同学们先看例题 4 计算： 5315797535797531355。

14、的值； 4 学会求解关于取整符号的方程； 知识点概述 一 基本概念：表示不大于 x 的最大整数，通常叫做 x 的整数部分， ，通常叫做 x 的小数部分或真分数部分； 如， 二 基本性质： 1. ， ，； 2. ， (x、y 均为整数是等号才成立) 3. 若是整数，则 三 关于取整符号的方程 1. 有关 x、的方程，通常都要先把 x 拆成 ，然后利用是整数以 及有范围的特点求解 2. 一些复杂的 x、 的方程，有时候用换元的方法来化简求值，例如方程： ，因为，然后令，即有（其 中）， 于 是 方 程 变 为， 把y拆 开 ， 有 ， 所 以， 容 易 算 出 此 时 ，所以 5 53 y x 11 88 33 yyy 2315yy 5103153315yyyy 3 23 5 y y 5 y x 522xy5xy 5252xx 5233xx x x x x xx x x 。

15、杨老师说： “卡莉娅第二，萱萱第三 ”结果四位同学都进入了前四名，而三 位老师的预测各对了一半，那么萱萱是第_名 3. 由 1、4、7、10、13 组成甲组数，由 2、5、8、11、14 组成乙组数，由 3、6、9、12、15 组成丙组 数现在从三组数中各取一个数相加，共可以得到_个不同的和 4. 欣欣超市举办促销活动，允许用 5 个空瓶换一瓶啤酒胡大伯家去年花钱先后买了 89 瓶啤酒，其 间还不断用啤酒瓶换啤酒，胡大伯家去年共能喝到_瓶啤酒 5. 把 100 个橘子分装在 6 个篮子里，每个篮子里装的橘子数都含有 6每个篮子里的橘子数由多到少 分别是_、_、_、_、_、_ 6. 从 1、2、3、2010 中，最多可以取出_个数，使取出的数中任意两个数的差都不是 4 7. 将一张66的纸棋盘沿竖线、横线（不计边框共有 10 条）折叠（不一定对折） ，最后成为一个1 1 的正方形此时沿对边中点剪 1 刀，原来的棋盘被剪成了_。

16、形面积为 2 2244 28aaa 我们再来看 几个用类似想法解决的问题 本讲知识点汇总： 一、 巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积 1. 圆与直角三角形中利用勾股定理 2. 同 底 三 角 形 利 用 “2公共底 高的和” 求 面 积 和 ， “2公共底 高的差”求面积差 3. 不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑其面 积之间的和差关系 二、 辅助线与几何变换 1. 通过割、补，将图形的变为规则图形，以便于分析 2. 通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解 三、 图形运动 能够正确地画出简单几何图形（如圆等）在运动过程中所扫过区域的 边界，并求解相关的长度和面积 例1 如图，阴影部分的面积是 25 平方厘米，求圆环的面积 （取 3.14） 分析分析 阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形， 而圆环等于大圆减去 小圆那么阴影部分面积与圆环面积之间有什么联系呢？ 练习 1、下图中阴影部分的面积是 40 平方厘米，求圆环的面积 （取 3.14） O O B D C 。

17、x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样 一来就会有无穷多组解通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时 ，这个方程（或 方程组）就会有无穷多个解 可是方程的解那么多，究竟哪个才是正确的呢？应该说，如果不加任何额外的限制条件，这 无穷多个解都是正确的但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这 样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对 练一练 求下列方程的自然数解： （1）25xy； （2）238xy； （3）321xy； （4）4520xy 本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组） ：它们所含未知数的个数往往 大于方程的个数， 而未知数本身又有一定的取值范围， 这个范围通常都是自然数这 类方程就是“不定方程” 形如axbyc（a、b、c 为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式解 这样的方程， 最基本的方法就是枚举 那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们 下面结合例题来进行讲解 例1 甲级铅笔。

18、10 枚硬币，出现 10 个正面的可能性非常小 为了能够更准确的描述这种 “可能性的大小” ， 法国数学家费马和帕斯卡在 17 世纪 创立了概率论，把对随机事件的研究上升到一门科学 （当时他们通过信件讨论了社会 上的两个热点问题掷骰子问题和比赛奖金分配问题） 概率基本概念 概率反应了一个随机事件结果发生的可能性，例如：投掷一枚硬币，正面和反面出 现的可能性相同，所以概率均为；投掷一个骰子，每种点数出现的可能性相同，所 以概率均为 概率是 01 之间用来表示事件可能性大小的一个数值 关于概率，大家要有一个正确的认识，投掷 1 枚硬币，正面出现的概率为，并 不是说投掷 2 次一定会有 1 次正面，而是说每次扔都有可能性出现正面 虽然投掷 2 次硬币，不见得正面会出现一半，但是，投掷次数越多，正面出现的比 例越接近一半（例如无论谁投掷 10000 次硬币，正面出现的比例都会很接近 0.5） （这 个特点在概率论中被称为大数定律） 换言之，概率可以展示出大量重复实验结果的规律性基于此，在 17 世纪概率刚 创始的年代，人们提出了古典概率模型 古典概率模型 古典概率模型。

19、碧、 芬达、 橙汁、 味全和矿泉水 6 种饮料， 每人各买两种不同的饮料， 那么至少多少人买的饮料完全相同？ 分析分析本题的“抽屉”是饮料的选法， “苹果”是 173 名运动员 练习 1、中国奥运代表团的 83 名运动员到超市买饮料超市有可乐、雪碧、芬达和橙 汁，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？ 例2 国庆嘉年华共有 5 项游艺活动，每个学生至多参加 2 项，至少参加 1 项那么至少有 多少个学生，才能保证至少有 4 个人参加的活动完全相同？ 分析分析本题的“抽屉”是参加活动的方法 练习 2、高思运动会共有 4 个项目，每个学生至多参加 3 项，至少参加 1 项那么至少 有多少个学生，才能保证至少有 5 个人参加的活动完全相同？ 1m 1m n 1n 例3 从 1 到 50 这 50 个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是 50？ 分析分析思考一下：哪两个数的和是 50？ 练习 3、从 1 到 35 这 35 个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的 和为 34？ 例4 从 。

20、至少写 1 篇 如果小高每天最多能写 3 篇， 那么共有多少种不同的完成方法？（小高每天只能写整数篇） 分析分析从简单情况入手，看看能否找到合适的突破口如果老师只布置 1 篇作文，小 高有多少种不同的完成方法？如果老师布置 2 篇作文， 小高有多少种不同的完成方法？ 如果老师布置 3 篇、4 篇、小高又分别有多少种不同的完成方法？篇数由少到多， 完成方法数也会逐渐变多，这其中有什么规律呢？ 练习 1、一个楼梯共有 12 级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶走完这 12 级 台阶，共有多少种不同的走法？ 例2 用 10 个1 3的长方形纸片覆盖一个10 3的方格表，共有多少种覆盖方法？ 分析分析与例 1 的类似，我们还是从简单情形入手找递推关系可具体从什么样的情形 入手呢？ 练习 2、用 7 个1 2的长方形纸片覆盖一个72的方格表，共有多少种覆盖方法？ 例3 在一个平面上画出 100 条直线，最多可以把平面分成几个部分？ 分析分析当直线数量不多时，画图数一数即可但现在有 100 条，画图数并不现实我 们不妨在纸上将直线逐一画出，并。