高斯小学奥数四年级上册含答案第24讲_

1、 90 千克之间的重量，因此他们三人只能两人两人一起称重甲和乙一起称，总重量 是 73 千克；乙和丙一起称，总重量是 80 千克；丙和甲一起称，总重量是 75 千 克三人的体重分别是多少千克？ 我们把甲、 乙两人看成一组， 乙、 丙两人也看成一组 （其中乙同时属于两组） ， 比较这两组我们发现丙比甲重（千克） 再结合甲、丙总重量为 75 千 克，可以根据和差关系算出甲、丙各自的重量 80 737 在这个例子中，我们既考虑两人一组的总重量，也把两组的总重量作比较 除此之外， 还有另外一种利用分组进行比较的分析方法： 同样的， 我们把甲、 乙、丙三个人两两的体重看做一组，把三组相加，即为三个人体重和的 2 倍由 此可得三人体重之和为（千克） ， 再分别与每一组进行比较， 即可得到三个人的体重 由此可见，用分组法与比较法在处理多个对象的和差倍关系时，可以把条件 之间的关系变得更清晰而且，一个题目往往是可以从不同的角度去采用不同的 分析方法进行解决的所以我们要根据题目的实际情况进行合理的比较 有些题目直接列出算式去比较会很麻烦， 所以我们可以用画图的方法来帮助 我们比。

2、容易算出面积如果已知三角形的面积和一条边的长度， 就可以算出以这条边为底对应的高是多少； 如果已知三角形的面积和一条高的长度， 就可以 算出与这条高所对应的底边的长度这种反求的方法，在几何问题中是经常会遇到的 练一练练一练 下面三个三角形的面积都是 60，有的高未知，有的底未知请求出未知的长度 需要注意的是，已知三角形面积和底（或高） ，求三角形高（或底）的时候，切记首先 要“ 2 ” 例题 1 如图，在平行四边形 ABCD 中，三角形 BCE 的面 积为 42 平方厘米， BC 长为 14 厘米， AE 长为 9 厘米 请 问：三角形 ECD 的面积是多少平方厘米？ 分析分析三角形已知面积和一条边，就可以求高 啦！ 练习 1 如图，直角梯形 ABCD 的上底是 5 厘米，下 底是 17 厘米，三角形 ACD 的面积是 25 平方厘 米请问：梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ 例题 2 如图，把小正方形的每边延长 2 厘米后，得到一个大正方形，大正方形的面积比小正方 形的面积大 36 平方厘米请问：小正方形的边长是多少厘米？小正方形。

3、方形的边长是 6 厘米，面积是_平方厘米 2. 长方形的长为 8 厘米，宽为 4 厘米，面积是_平方厘米 3. 正方形的面积是 121 平方厘米，它的边长是_厘米 4. 长方形的面积是 48 平方厘米，宽为 4 厘米，长为_厘米 例题 1 如下图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽 种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜其中栽种茄子 的面积是 16 平方米，栽种黄瓜的面积是 28 平方米， 栽种豆角的面积是 32 平方米，栽种莴笋的面积是 72 平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方 形请问：剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少？ 分析分析左上角是面积为 16 的正方形， 那么它的边长是多少？你还能求出哪些线 段的长度呢？ 练习 1 如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、 黄瓜，其中冬瓜地的面积是 24 平方米，西瓜地的面积是 36 平方米，南瓜地的面 积是 18 平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形请问：剩下的黄瓜地的 16 32 28 72 ? 正方形 正方形的面积边长 边长 。

4、1项数末项首项公差； 求和公式： 2和首项末项项数 ； 项数为奇数时有：和 中间项 项数 在涉及到等差数列的整数数列计算中，我们常用到“分组配对”的思想事 实上， “分组配对”不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计算相关的问题中 也能够发挥作用 例题 1 计算：10098969492908642 分析分析算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计 算的捷径呢？ 练习 1 计算：100999897969521 例题 2 计算：50494847464544434321 分析分析算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计 算的捷径呢？最后一组是否包含 4、3、2、1 这 4 个数呢？ 练习 2 计算：95939189878583817531 除了等差数列，还有多种整数数列，其中，平方数列就是非常常见的一种 乘法是加法的简便运算，例如我们可以把66666简写为65乘方 是乘法的简便运算， 例如我们可以。

5、 有点炒菜和点炖菜这两类方式 也就是说， 可以点： 红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有 4 2 6 种点菜方法， 其中 4 代表 4 种炒菜， 2 代表 2 种炖菜 这就是加法原理 加法原理：如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法， 那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数 如果要求炒菜和炖菜各点一个， 这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一 个点菜组合，点炒菜是一第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可炒菜选红 烧鱼块的点菜方法有 2 种：（红烧鱼块， 土豆炖牛肉） 、（红烧鱼块， 萝卜炖排骨） ； 类似地，选滑溜里脊的也有 2 种： （滑溜里脊，土豆炖牛肉） 、 （滑溜里脊，萝卜 炖排骨） ；选清炒虾仁的也有 2 种： （清炒虾仁，土豆炖牛肉） 、 （清炒虾仁，萝卜 炖排骨） ；选三鲜豆腐的也有 2 种： （三鲜豆腐，土豆炖牛肉） 、 （三鲜豆腐，萝卜 炖排骨） 合在一起就有4 2 8 种点菜方法，其中 4 代表 4 种炒菜，2 代表 2 种 炖菜这就是乘法原理 乘法原理： 如果完成一件事分为几个步骤， 在。

6、问题之一 想一想想一想 现在有三个王国的人，一个来自真话王国，只说真话；一个来自谎话王国，只说假话； 还有一个来自现代王国，是正常人，有时说真话有时说假话现在有一个人微笑着对小柯南 说： “我是骗子 ”你能猜出他是哪个国家的人吗？ 例题 1 甲、乙、丙三人中有一人是牧师，有一人是骗子，还有一人是赌棍牧师从不说谎，骗 子总说谎，赌棍有时说真话有时说谎话甲说： “我是牧师 ”乙说： “我是骗子 ”丙说： “我 是赌棍 ”请问：甲、乙、丙三人中谁是牧师？谁是骗子？谁是赌棍？ 分析分析这三句话哪句是真话？哪句是假话？ 练习 1 甲、乙、丙三人中有一人是牧师，有一人是骗子，还有一人是赌棍牧师从不说谎，骗 子总说谎，赌棍有时说真话有时说谎话甲说： “我不是牧师 ”乙说： “我不是骗子 ”丙说： “我不是赌棍 ”请问：甲、乙、丙三人中谁是赌棍？ 我们在进行逻辑推理时，往往还需要应用假设法分析问题，要考虑全面既要考虑到 所假设的条件成立的情况，还要考虑到条件不成立的情况 例题 2 有甲、乙、丙三名学生一起到动物园看到一只动物甲判断： “不是鸡，不是鸭 ”乙判。

7、尾行进 与之前分析过程一样，首先找到最后对齐的部位，并找到其初始位置，将火车行程过程 转化为甲车尾与乙车头的追及过程，可以总结如下： 齐头并进：从出发到离开（即超过）时刻，两车路程差为快车车长 齐尾并进：从出发到离开（即超过）时刻，两车路程差为慢车车长 例题 1 （1）现有 D 字头动车和 T 字头特快同时同向齐头行进，动车每秒行 60 米，特快每秒行 40 米，经过 8 秒后动车超过特快请问：D 字头动车车长多少米？ （2）现有 D 字头动车和 T 字头特快车尾对齐，同时同向行进，动车每秒行 60 米，特快每 秒行 40 米，经过 10 秒后动车超过特快请问：T 字头特快车车长多少米？ 分析分析题（1）中，火车从齐头开始出发，到超过为止，快车车长（D 字头动车车长）即 为路程差，所以求路程差即可 练习 1 （1） 现有两列火车，如果这两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行 20 米，慢车每秒行 9 米，行 10 秒后快车超过慢车请问：快车车长多少米？ （2） 现有两列火车，快车每秒行 20 米，慢车每秒行 9 米，如果这两列火车车尾对齐，同 时同向行进，则 15。

8、数字后面再插入一个同样的数字请问：能得到的最 小八位数是多少？ 分析分析一共有多少种不同的插入数字的方法？你能将它们全部枚举出来吗？ 练习 1 在五位数 41729 的某一位数字前面插入一个同样的数字 （例如： 在 7 的前面插入 7 得到 417729） ，能得到的最大六位数是多少？ 直接枚举的优点是不用过多思考，大家都能理直气壮地说，直接比较大小得到的答案 一定是正确的事实上，我们应该多想一想，为什么这个答案是最大或最小的，有没有什么 道理，其中有没有什么规律 例题 2 有 9 个同学要进行象棋比赛 他们准备分成两组， 不同组的任意两人之间都进行一场比 赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？ 分析分析把 9 个同学分成两组，有多少种情况呢？你能算出这些分法各自对应的比赛场数 吗？ 练习 2 有 7 个同学要进行乒乓球单打比赛 他们准备分成两组， 不同组的任意两人之间都进行 一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？ 从例题 2 我们可以得出： 两个数的和相等， 当它们越接近时 （也就是它们的差越小时） ， 两数乘积越大，也可以简单记成“。

9、放在火上，坐待水开；水开了之后，洗茶壶、 茶杯，拿茶叶，再泡茶 我们很容易看出第一种办法最好，后两种办法多多少少都浪费了时间 在这个简单的例子中，有些工作可以同时做，比如烧水时可以洗茶壶、拿茶 叶有些工作有先后顺序的要求，比如洗水壶要安排在烧开水之前，而不能水烧 开了再去洗水壶如何根据实际情况，合理地安排工作顺序，使得总时间或总花 费最少，正是统筹法研究的问题 例题 1 萱萱中午做一道菜，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐 2 分钟，切肉片 2 分钟，准备葱姜蒜 3 分钟，准备佐料 1 分钟，烧热 锅 2 分钟，烧热油 2 分钟，炒菜 4 分钟请问萱萱烧好这道菜最短需 要多少分钟？ 分析分析有哪些工序能同时做？哪些工序必须考虑先后顺序？ 练习 1 妈妈让冬冬给客人烧水沏茶洗开水壶要用 1 分钟，烧开水要用 15 分钟， 洗茶壶要用 1 分钟，洗茶杯要用 1 分钟，拿茶叶要用 2 分钟冬冬估算了一下， 完成这些工作要花 20 分钟为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少 需要多少分钟？ 有很多工作需要做时，我们把能同时做的工作同时做，可以节约时间。

10、的倍数关系发生了变化， 这时选择哪个 量作为“1”份量就是解题的关键了如果设为“1”份不好算，还可以选择一个合 适的数设为多份 试一试 甲是乙的 2 倍，也是丙的 3 倍，那么设甲为_份 甲是乙的 2 倍，也是丙的 5 倍，那么设甲为_份 甲是乙的 3 倍，也是丙的 5 倍，那么设甲为_份 甲是乙的 11 倍，也是丙的 20 倍，那么设甲为_份 甲是乙的 99 倍，也是丙的 100 倍，那么设甲为_份 甲是乙的 4 倍，也是丙的 12 倍，那么设甲为_份 甲是乙的 6 倍，也是丙的 9 倍，那么设甲为_份 例题 1 学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花，其中黄花的盆数最多，是红 花的 4 倍，是蓝花的 3 倍，已知蓝花比红花多 20 盆请问：学校门 口一共有多少盆花？ 分析分析黄花盆数是红花的 4 倍，是蓝花的 3 倍红花、蓝花都与黄花有倍数关 系，我们应该把黄花设为几份呢？ 练习 1 暑假里，心灵手巧的萱萱折了很多纸。

11、要分为两种 情况：一种是后面的人速度快，经过一段时间追上了另一个人；还有一种是前面 的人速度快，两人的距离越来越远 相遇问题考虑的是 “路程和” 与 “速度和” ， 而追及问题中两人是同向而行， 因此我们考虑的是两人的“路程差”以及“速度差” 仿照行程问题基本公式， 我们同样可以得到追及问题的三个基本公式： 路程差速度差 追及时间 追及时间路程差速度差 速度差路程差 追及时间 例题 1 A、B 两地相距 260 米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，同 向而行（甲是往 B 方向出发的） 已知甲每秒钟走 5 米，乙每秒钟走 3 米，那么甲出发多长时间后可以追上乙？ 分析分析从出发到追上，甲一共比乙多走了多远？甲每分钟比乙多走多远呢？ 练习 1 京、津两地相距 120 千米，客车和货车分别从北京和天津同时出发，同向而 行， 客车在前， 货车在后 已知客车每小时行 100 千米， 货车每小时行 120 千米 那 么出发后多长时间货车追上客车？ 例题 2 墨莫步行上学，每分钟行 75 米墨莫离家 12 分钟后，爸爸发现他忘 了带文具盒，马上骑自行车去追，每。

12、确定好一步，再做下一步，直到最后 那么是不是只要分步骤完成整件事情就可以直接用乘法原理呢？ 如下图，把 A、B、C 三部分用三种不同的颜色染色，要求相邻两部分不能 同色，那么一共有多少种不同的染法呢？ 其实，整个染色过程是需要分为三步的，即分别给其中一块染色： 当染色顺序为 ABC 时，那么 A 有 3 种染法，B 不能和 A 一样，有 2 种 染法，同样 C 有 2 种，那么一共就有“3 22 ”种染法； （CBA 同理） 当染色顺序为 BAC 时，那么 B 有 3 种染法，A 不能和 B 一样，有 2 种 染法，同样 C 有 2 种，那么一共就有“3 22 ”种染法； （BCA 同理） 当染色顺序为 ACB 时，那么 A 有 3 种染法，第二步 C 没有限制，也有 3 种染法，但是最后的 B 就出问题了，我们没法确定它有 2 种还是 1 种染法 如果 C 和 A 同色，则 B 有 2 种染法；如果 C 和 A 不同色，则 B 只有 1 种染法 此时，根据分步相乘的思想计算整个过程的染色方法“33? ”就不再适用 了 （CAB 同理。

13、7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 12 11 10 9 8 7 13 14 15 16 17 18 24 23 22 21 20 19 我们在观察一个数表时， 首先要关注的是数表中有哪些数， 这些数在数表中按照什么规 律排列，能不能找到它们的周期实际上，数表中的数也构成一个数列但数列与数表是不 同的， 在数列问题中我们只需要关注所求的是第几个数， 而在数表问题中我们则要考虑所求 的数在第几行第几列 我们一般通过以下三个步骤判断一个数在数表中的位置： 1. 找到数表中的数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个； 2. 数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数； 3. 找到这个数所在的行或列 如果我们知道了某个数在数表中的具体位置， 要反求这个数是多少， 可以通过三个步骤 来考虑： 1. 数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数； 2. 找到这些数组成的数列规律，判断这个数在对应的数。

14、奇数项和偶数项分开来看，或者是两 项两项地看 又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6， 奇数项和偶数项的规律 不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规 律了对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题 具体分析 首先让我们来寻找以下数列的规律 找规律 （1）40，2，37，4，34，6，31，8，_，_，25，12； （2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，_，_，64，7 例题 1 观察数列的规律：10，1，10，2，10，3，10，4，10，5，10，6， 50 请回答以下问题： （1）这个数列中有多少项是 10？ （2）这个数列中所有项的总和是多少？ 分析分析这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪 一重求项数呢？ 练习 1 观察数列的规律：1，4，2，4，3，4，4，4，5，4，6，4，30，4 请回答以下问题： （1）这个数列中有多少项是 4？ （2）这个数列中所有项的总和是多少？ 例题 2 观察数列。

15、215;5，偶数0、奇数5； 0，乘积个位为 0； _A_A=_A，A 可能为：0、1、5、6 二、首位分析位数分析估算，如： A B A A=1、2 或 3 一般来说，在包含字母（或汉字）的竖式中，不同的字母（或汉字）代表不 同的数字，相同的字母（或汉字）代表相同的数字 在加法与减法竖式中，进位与借位是非常重要的分析突破口尤其是相同数 位上重复出现的汉字或字母，有的时候，会略带一些有关奇偶性的简单应用 例题 1 在下图的加法竖式中，不同的汉字代表不同 的数字，相同的汉字代表相同的数字那么 每个汉字各代表什么数字？ 分析分析观察首位， “车”是加出来的呢？末位三个数 字都是“卒” ，那“卒”又是多少呢？ 练习 1 在下图所示的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同 的字母代表不同的数字其中“G”代表 5， “D”代表 0， “H” 代表 6请问： “I”代表的数字是多少？ A B 8 A=1，B=2 A B 9 三、进、借位分析，如：。

16、E 是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积 是多少平方厘米？ 分析分析辅助线把整个图形分成了左右两个平行 四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关 系呢？ 练习 1 如图， E 是平行四边形 ABCD 中的任意一点， 已 知AED 与EBC 的面积和是 40 平方厘米， 那么图 中阴影部分的面积是多少？ 下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形 OAB、三角形 PAB、三角形 MAB 和三角 形 NAB，它们的底相同，都是 AB；高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形 的面积是相等的进一步，我们可以在直线 ON 上任取若干个点，这些点分别与 A、B 两点 形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的 我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高” “同底等高”是我们最早碰 到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等 如果两个三角形同底等高，那么它们的面积相等 利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形 A B C D E A B C D E 底 高 O A B P M N 例题 。

17、律： a bcab c 例如：123234345 123234345；10 1112 1011 12 三、 分配律：分配律： 乘法分配律： abcacbc abcacbc ； cabcacb cabcacb 例如：234 1235234 5 123 5 ； 5234 1235 2345 123 除法分配律： abcacbc abcacbc 例如：1004010 100 1040 10； 避免错误使用：183618 3 18 6 四、 去（添）括号：去（添）括号： 1. 加、减法去（添）括号：括号前面是“” ，去（添）括号后不变号；括 号前面是“” ，去（添）括号后要变号 例如：234345 123234345 123， 345234 12334。

18、过程中如何使自己取胜 的策略问题如果说“统筹规划”所研究的是“死的”对象的话，那么“对策问 题”所研究的就是一个“活的”对手，因而在考虑问题时需要设想对手可能采取 的各种方案，并使己方的策略能在对手所有可能采取的方案中都处于有利位置， 我们将这种状态称作“必胜状态” （否则称为“必败状态” ） 那么在给定的游戏 规则下，是否存在必胜状态，以及为了达到必胜状态所采取的策略就成了问题的 关键 需要强调的是，我们的目标不是“可能胜” ，而是“必胜” ！我们不能存在侥 幸心理，不能寄希望于对方的失误，而是要在假定双方都足够聪明的前提下寻找 必胜策略 例题 1 有 12 枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取 1 枚， 最多取 3 枚 如果谁取走最后一枚棋子谁赢， 那么谁有必胜策略？ 如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什 么？ 分析分析直接考虑 12 枚棋子并不容易，大家不妨试试棋子较少时谁有必胜策略， 看看能否找到规律 练习 1 有 15 枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取 1 枚，最 多取 2 枚如果谁取走最后一枚棋。

19、年龄问题中时常包含着一些隐藏条件，需要大家格外关注 我们先来看一下只与两个人的年龄有关的几类问题 例题 1 今年小高 12 岁，他父亲 42 岁，请问：多少年后，父亲年龄是小高的 2 倍？多少年前，父亲年龄是小高的 4 倍？ 分析分析小高和父亲的年龄差是不变的，怎么把年龄差与年龄的倍数关系联系起 来呢？ 练习 1 今年小高 10 岁，他父亲 30 岁，请问：多少年前，父亲年龄是小高的 5 倍？ 多少年前，父亲年龄是小高的 6 倍？ 对于两个人来说，每过一年，两个人的年龄都会增长一岁，但是他们的年龄 差不变抓住这一不变量，很多问题就可以迎刃而解了 例题 2 今年爸爸的年龄是儿子的 4 倍，4 年以后，爸爸年龄就只有儿子的 3 倍，请问今年爸爸、儿子各几岁？ 分析分析父子年龄的倍数关系发生了变化，是一个典型的变倍问题，其中的不变 量是什么呢？把不变量设为几份呢？ 练习 2 今年， 母亲年龄是儿子年龄的 3 倍； 10 年后， 母亲年龄是儿子年龄的 2 倍 请 问：今年母亲的年龄是多少岁？ 年龄问题中，我们有时需要比较两个人在不同时间的年龄对这类问题， 我们仍然像。

20、时间内所经过的路程 速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量，它们之间的关系如下： 路程速度 时间 速度 路程 时间 =时间路程速度 那么本文一开始提到的小猫跑过的距离 10 米就为路程，行程问题中常用的 路程单位是米和千米而小猫跑了 5 秒就是时间，时间的常用单位有秒、分钟和 小时那么小猫的速度就是 2 米秒，行程问题中常用的速度单位有米秒、米 分和千米时 练一练 1. 汽车以每小时 15 千米的速度行驶，那么 5 小时内，它行驶了_千米 2. 长跑运动员每秒跑 4 米，如果按照这个速度跑完 10000 米，需要_秒 3. 一颗子弹射出后 2 秒钟，恰好击中 1800 米处的目标，那么它的速度是每秒_ 米 4. 一名长跑运动员以每秒 4 米的速度奔跑，那么 2 分钟内，他跑了_米 5. 小高每分钟骑 100 米，如果要骑完 6000 米的路程，需要_小时 例题 1 甲、乙两地相距 360 千米，一辆汽车原计划用 8 小时从甲地到乙地， 那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上。