高中必修一三角函数

1、得效果不同，怎样直观的表示更好？,答案 用有向线段AB和BA表示较好.,答案,有向线段 (1)有向线段：规定了 (即规定了起点和终点)的线段称为有向线段. (2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线. (3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上 或 ，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB. (4)单位圆：圆心在 ，半径等于 的圆.,梳理,单位长度,方向,正号,负号,原点,思考1,知识点二 三角函数线,在平面直角坐标系中，任意角的终边与单位圆交于点P，过点P作PMx轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin ，cos ，tan 与MP，OM，AT的关系吗？,答案 sin MP，cos OM，tan AT.,答案,思考2,三角函数线的方向是如何规定的？,答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.,思考3,三角函数线的长度和方向各。

2、建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的函数值,进而使实际问题得到解决.步骤可记为：审读题意建立三角函数式根据题意求出某点的三角函数值解决实际问题.这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数,然后写出具体的三角函数解析式.学-科网3三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.K重点函数解析式与图象的对应问题以及函数解析式的应用K难点三角函数建模的应用K易错不能正确理解各个参数的实际意义1函数解析式与图象的对应问题（1）已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项.（2）函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点，解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.【例1】函数的图象是【名师点睛】该题也可直接利用余弦函数的定义域。

3、当时，；当时，当时，；当时，既无最大值，也无最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性,奇函数，偶函数，奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；无对称轴，是中心对称图形但不是轴对称图形.二、函数的图象与性质1函数的图象的画法（1）变换作图法由函数的图象通过变换得到（A0,0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. （2）五点作图法找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为： 先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象； 令,令X分别取0，,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点； 描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.2函数。

4、求值问题，解题关键是求出函数，结合函数性质逐步得出的值即可【母题原题2】【2018年高考天津卷文数】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在区间上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数的图象向右平移个单位长度之后的解析式为，则函数的单调递增区间满足，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误故选A【名师点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力【母题原题3】【2017年高考天津卷文数】设函数，其中若且的最小正周期大于，则ABCD【答案】A【解析】由题意得，其中，所以，又，所以，所以，由得，故选A【名师点睛】关于的问题有以下两种题型：提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据最小正周期求，最后利用最高点或。

5、过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？,答案,答案 sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ； cos 2cos()cos cos sin sin cos2sin2；,思考2,根据同角三角函数的基本关系式sin2cos21，你能否只用sin 或cos 表示cos 2？,答案,答案 cos 2cos2sin2cos2(1cos2)2cos21； 或cos 2cos2sin2(1sin2)sin212sin2.,二倍角的正弦、余弦、正切公式,梳理,sin 22sin cos ， (S2) (3.9) cos 2cos2sin2 (C2) (3.10) 12sin2 (3.11) 2cos21， (3.12) tan 2 . (T2) (3.13),知识。

6、角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2替换，结果怎样？,答案,思考1,思考2,答案,思考3,利用tan 和倍角公式又能得到tan 与sin ，cos 有怎样的关系？,答案,正弦、余弦、正切的半角公式,梳理,知识点二 辅助角公式,思考1,asin xbcos x化简的步骤有哪些？,答案,(2)定角度，确定一个角满足：,思考2,在上述化简过程中，如何确定所在的象限？,答案,答案 所在的象限由a和b的符号确定.,辅助角公式,梳理,题型探究,类型一 应用半角公式求值,解答,(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论. (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： 先化简所求的式子； 观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).,反思与感悟,解答,类型二 三角恒等式的证明,证明,左边右边， 原式得证.,证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常。

7、cos230； (2)sin245cos245； (3)sin290cos290. 由此你能得出什么结论？尝试证明它.,答案,答案 3个式子的值均为1. 由此可猜想： 对于任意角，有sin2cos21，下面用三角函数的定义证明： 设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义， 得sin y，cos x. sin2cos2x2y2|OP|21.,思考2,由三角函数的定义知，tan 与sin 和cos 间具有怎样的等量关系？,答案,(1)同角三角函数的基本关系式 平方关系： . 商数关系： . (2)同角三角函数基本关系式的变形 sin2cos21的变形公式 sin2 ；cos2 . tan 的变形公式 sin 。

8、点P，作PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r.,思考2,对确定的锐角，sin ，cos ，tan 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？,答案,答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.,如图，设P(x，y)是终边上不同于坐标原点的任意一点，设OPr(r0). (1)定义叫做角的 ，记作 ，即cos ；叫做角的 ，记作 ，即sin ；叫做角的 ，记作 ，即tan .,梳理,余弦,正弦,正切,cos ,sin ,tan ,依照上述定义，对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当2k (kZ)时，它有唯一的正切值与之对应.因此这三个对应法则都是以为自变量的函数，分别叫做角的余弦函数、正弦函数和正切函数.,(2)有时我们还用到下面三个函数角的正割：sec ；角的余。

9、点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r.,思考2,对确定的锐角，sin ，cos ，tan 的值是 否随P点在终边上的位置的改变而改变？,答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小 与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.,思考3,在思考1中，当取|OP|1时，sin ，cos ，tan 的值怎样表示？,答案 sin y，cos x，tan .,答案,任意角的三角函数的定义,梳理,思考,知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号,根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？,答案 由三角函数定义，可以判断三角函数值的符号.,答案,三角函数值的符号，如图所示.口诀：“一 ，二 ，三 ，四 ”.,梳理,全正,正弦,正切,余弦,题型探究,命题角度1 已知角终边上一点坐标求三角函数值例1 已知终边上一点P(x，3)(x0)，且cos 。

10、周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由.,答案 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同.即有sin(2x)sin x，cos(2x)cos x.故正弦函数和余弦函数也具有周期性.,答案,梳理,(1)周期函数的定义 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个 T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个 ，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.,最小的正数,非零的常数,f(xT)f(x),知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的周期,思考,6是正弦函数ysin x(xR)的一个周期吗？,答案 是的.由sin(6x)sin x恒成。

11、rcsin a表示一个角；,(3)这个角的正弦值等于a，即sin(arcsin a)a. 因此，a的范围必是|a|1.,梳理,xarcsin y,思考,知识点二 已知余弦值，求角,阅读教材59页下半页，说出arccos a的含义.,答案,答案 (1)当|a|1时，arccos a表示一个角； (2)这个角在区间0，内取值，即arccos a0，； (3)这个角的余弦值等于a，即cos(arccos a)a. 因此，a的范围也必须是|a|1.,梳理,一般的对于余弦函数ycos x，如果已知函数值y(y1，1，那么在 上有唯一的x值和它对应，记作x (1y1，0x).,0，,arccos y,思考,知识点三 已知正切值，求角,对arctan a的含义你是如何理解的？,答案,答案 (1)arctan a表示一个角；,(3)这个角的正切值是a，根据正切函数的值域是R，可知aR，即tan(arctan a)a.,梳理,arctan y,题型探究,解答,类型一 已知正弦值，求角,由正弦函数周期性可知。

12、 诱导公式五,由此可得诱导公式五,cos ,sin ,思考,知识点二 诱导公式六,能否利用已有公式得出 的正弦、余弦与角的正弦、余弦之间的关系？,答案,答案 以代替公式五中的得到,由此可得诱导公式六,知识点三 诱导公式的推广与规律,答案,cos ,sin ,cos ,sin ,2.诱导公式记忆规律： 公式一四归纳：2k(kZ)，的三角函数值，等于角的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五六归纳： 的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”. 六组诱导公式可以统一概括为“k (kZ)”的诱导公式.,记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k (kZ)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“。

13、了解三角函数的周期性.(3)理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.(4)理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1,=tanx.(5)了解函数y=Asin(wx+j)的物理意义；能画出y=Asin(wx+j)的图像,了解参数A,w,j对函数图像变化的影响.(6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.3.和与差的三角函数公式(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).三角函数的性质和诱导公式的应用是考查的重点，解题时常用到辅助角公式和两角和差正余弦公式，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择填空题为主。

14、竞赛讲座 33 三角函数三角函数 几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表 示角的大小， 从而将两个基本量联系在一起， 使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一 些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具. 1 角函数的计算和证明问题 在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握： （1） 三角函数的单调。

15、76;cos230； (2)sin245cos245； (3)sin290cos290. 由此你能得出什么结论？尝试证明它.,答案,答案 3个式子的值均为1. 由此可猜想： 对于任意角，有sin2cos21，下面用三角函数的定义证明： 设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)， 则由三角函数的定义，得sin y，cos x. sin2cos2x2y2|OP|21.,思考2,由三角函数的定义知，tan 与sin 和cos 间具有怎样的等量关系？,答案,梳理,(1)同角三角函数的基本关系式 平方关系： .商数关系： .,sin2cos21,(2)同角三角函数基本关系式的变形 sin2cos21的变形公式 sin2 ；cos2 .tan 的变形公式sin ；cos .,1cos2,1sin2,cos ta。

16、分为正角、负角、零角（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角（3）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合3象限角与轴线角第一象限角的集合为；第二象限角的集合为；第三象限角的集合为；第四象限角的集合为终边与轴非负半轴重合的角的集合为；终边与轴非正半轴重合的角的集合为；终边与轴重合的角的集合为；终边与轴非负半轴重合的角的集合为；终边与轴非正半轴重合的角的集合为；终边与轴重合的角的集合为；终边与坐标轴重合的角的集合为二、弧度制11弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零2弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关3弧度与角度的换算4弧长公式，其中的单位是弧度，与的单位要统一.角度制下的弧长公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.5扇形的面积公式. 角度制下的扇形面积公。

17、cos230； (2)sin245cos245； (3)sin290cos290. 由此你能得出什么结论？尝试证明它.,答案,答案 3个式子的值均为1.由此可猜想： 对于任意角，有sin2cos21，下面用三角函数的定义证明： 设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)， 则由三角函数的定义，得sin y，cos x. sin2cos2x2y2|OP|21.,思考2,由三角函数的定义知，tan 与sin 和cos 间具有怎样的等量关系？,答案,(1)同角三角函数的基本关系式 平方关系： .商数关系： . (2)同角三角函数基本关系式的变形 sin2cos21的变形公式 sin2 ；cos2 .,梳理,sin 。

18、 ，kZ?,答案,梳理,正弦函数ysin x的定义域是_；余弦函数ycos x的定义域是_； 正切函数ytan x的定义域是 .,x|xR且xk ，kZ,R,R,思考1,知识点二 三角函数线,在平面直角坐标系中，任意角的终边与单位圆交于点P，过点P作PMx轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin ，cos ，tan 与MP，OM，AT的关系吗？,答案,答案 sin MP，cos OM，tan AT.,思考2,答案,三角函数线的方向是如何规定的？,答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.,思考3,三角函数线的长度和方向各表示什么？,答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.,梳理,MP,OM,AT,题型探究,类型一 三角函数线,解答,解 如图所示，,反思与感悟,(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.。