高中竞赛

1、竞赛讲座 26 平面图形的面积平面图形的面积 1 关于面积的两点重要知识 （1）相似三角形的面积比等于相似比的平方 例 1（第 2 届美国数学邀请赛题）如图 40-1，在ABC 的内部选取一点 P，过 P 点 作三条分别与ABC 的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形 t1、t2 和 t3 的面 积分别为 4，9 和 49求ABC 的面积 解 设 T 是ABC 的面积，T1、T2 和 T3 分别。

2、竞赛讲座竞赛讲座 21 应用题选讲应用题选讲 应用题联系实际，生动地反映了现实世界的数量关系，能否从具体问题中归纳出 数量关系，反映了一个人分析问题、解决问题的实际能力. 列方程解应用题，一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几个步骤. 下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题，从中体现解应用题的技能和技巧. 1.合理选择未知元 例 1 （1983 年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从 。

3、竞赛讲座 33 三角函数三角函数 几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表 示角的大小， 从而将两个基本量联系在一起， 使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一 些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具. 1 角函数的计算和证明问题 在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握： （1） 三角函数的单调。

4、竞赛讲座 31 类比与联想类比与联想 1 类比 已知甲问题与乙问题有某些类似之处， 猜想乙问题的某个结论或某种解法也适合甲问题， 从 而将这个结论移植给甲问题或用类似方法解决甲问题， 这种解决问题的思维形式叫做类比推 理.类比只是一种猜测，是否可行还要靠逻辑推理来解决. 例 1 如图 27-1，一直线 l 交四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 或其延 长线于 E、F、G、H，则有 。

5、高中数学竞赛校本教材目录1数学方法选讲（1） 12数学方法选讲（2） 113集 合 224函数的性质 305二次函数(1) 416二次函数(2) 557指、对数函数,幂函数 638函数方程 739三角恒等式与三角不等式 7610向量与向量方法 。

6、竞赛讲座竞赛讲座 13 平面三角平面三角 三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中 有着广泛的应用同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一 一、三角函数的性质及应用一、三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、 最值等这 里以单调性为最难它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广 泛的应用 【例 1】 求函数。

7、竞赛讲座竞赛讲座 17 -数学归纳法数学归纳法 基础知识基础知识 数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法 在 数学竞赛中占有很重要的地位 1数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果 当 0 nn （Nn 0 ）时，)(nP成立； 假设),( 0 Nknkkn成立，由此推得1 kn时，)(nP也成立，那么，根据 对一切正整。

8、竞赛讲座竞赛讲座 03 -同余式与不定方程同余式与不定方程 同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍 有关的基本内容. 1. 同余式及其应用 定义:设 a、b、m 为整数（m0），若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余.记为或 一切整数 n 可以按照某个自然数 m 作为除数的余数进行分类， 即 n=pm+r （r=0， 1，。

9、竞赛专题讲座竞赛专题讲座 0404 平面几何证明平面几何证明 竞赛知识点拨竞赛知识点拨 1 1 线段或角相等的证明线段或角相等的证明 （1） 利用全等或相似多边形； （2） 利用等腰； （3） 利用平行四边形； （4） 利用等量代换； （5） 利用平行线的性质或利用比例关系 （6） 利用圆中的等量关系等。 2 2 线段或角的和差倍分的证明线段或角的和差倍分的证明 （1） 转化为相等问题。如要证。

10、竞赛讲座竞赛讲座 01 奇数和偶数奇数和偶数 整数中，能被 2 整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用 2k 表示 ，奇数可用 2k+1 表示，这里 k 是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质： （1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数； （2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；。

11、竞赛讲座 23 完全平方数完全平方数 (一)完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也 叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484, 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性 的认识。下面我们。

12、竞赛讲座 16 不等式 不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的 技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、 函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特 别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。 证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异， 灵活多变，技巧性强。但它也有。

13、竞赛讲座 22 -因式分解因式分解 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面 我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，结合竞赛再补充介绍添项、拆项法， 待定系数法、换元法、对称式的分解等有关内容和方法. 1.添项.拆项法 添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式， 解题时要注意 观察分析题目的特点. 例 1 （1986 年扬州初一数学竞赛题）分解。

14、竞赛讲座 20 -容斥原理 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限 集合 A 的元素个数(新教材中用CardA表示有限集合 A 的元素个数)。 原理一：原理一：给定两个集合 A 和 B，要计算 AB 中元素的个数，可以分成两步进行： 第一步： 先求出A+B （或者说把 A， B 的一切元素都“包含”进来， 加在一起） ； 第二步：减去AB（即“排除”加了两次的元素）。

15、竞赛讲座 15 -函数方程 一、相关知识 函数方程)()(xfxf的解是 函数方程)()(axfxf )0(a的解是 二、函数方程的题型 许多函数方程的解决仅以初等数学为工具， 解法富于技巧， 对人类的智慧具有明显的挑 战 意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。 1、确定函数的形式 尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限。

16、竞赛讲座竞赛讲座 1010 -抽屉原则抽屉原则 大家知道，两个抽屉要放置三只苹果，那么一定有两只苹果放在同一个抽屉里， 更一般地说，只要被放置的苹果数比抽屉数目大，就一定会有两只或更多只的苹果 放进同一个抽屉，可不要小看这一简单事实，它包含着一个重要而又十分基本的原 则抽屉原则. 1 抽屉原则有几种最常见的形式 原则 1 如果把 n+k(k1)个物体放进 n 只抽屉里，则至少有一只抽屉要放。

17、竞赛专题讲座竞赛专题讲座 08 几何变换几何变换 【竞赛知识点拨】【竞赛知识点拨】 一、一、 平移变换平移变换 1 定义 设是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得=，则 T 叫做沿有向线段的平移变换。记为 XX，图形 FF 。 2 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为 三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向。

18、竞赛讲座竞赛讲座 1212 覆盖覆盖 一个半径为 1 的单位圆显然是可以盖住一个半径为的圆的反过来则不然，一个 半径为的圆无法盖住单位圆那么两个半径为的圆能否盖住呢？不妨动手实验 一下，不行为什么不行？需几个这样的小圆方能盖住大圆？，这里我们讨论 的就是覆盖问题，它是我们经常遇到的一类有趣而又困难的问题 定义 设和是两个平面图形 如果图形或由图形经过有限次的平移、 旋转、 对称等变换扣得到的大小。

19、竞赛讲座 27 函函 数数 1.函数的基本概念 一个函数由它的自变量允许取值的范围(即定义域)和对应关系所确定，并由此确定 了函数值的变化范围(即值域).定义域、对应关系、值域称为函数的三要素. (1)求函数的定义域 例 1(1982 年西安初中竞赛题)已知函数 求自变量取值范围. 解 -2x-1，或-1x0，或 0 x2，或 2x3.或者写成-2x3，且 x0，2. 例 2(1982 年大连海。

20、竞赛讲座 09 圆 基础知识 如果没有圆，平面几何将黯然失色 圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系， 和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系 圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何 问题， “三角形的心” ， “几何著名的几何定理” ， “共圆、共线、共点” ， “直线形” 将构成圆 。