空间向量及其运算

1、.CB11AB3在下列命题中，错误命题的序号是_若 ab，则 a 与 b 不共线(R) ；若 a2b，则 a 与 b 共线；若 ma2b3c ，n 2 a4b6c ，则 mn；若 abc0，则 abc.4设 e1，e 2 是空间两个不共线的向量，已知2e 1ke 2， e 13e 2， 2e 1e 2，且 A，B，D 三点共线，则 k_.ABC5如图，已知空间四边形 ABCD 中，a2c， 5a6b8c，对角线 AC，BD 的中点分别为DE，F ，则 _.( 用向量 a，b，c 表示)6.如图，在空间四边形 ABCD 中，G 为BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和 AD 的中点，试化简 ，并在图中标出化简结果A13B12 C的向量7已知正四棱锥 PABCD，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x，y，z 的值(1) y z ；OQCA(2) x。

2、1 13.23.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 1已知 a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则 b 等于( ) A(2，4,2) B(2,4，2) C(2,0，2) D(2,1，3) 答案 A 解析 ba(1,2，1)(1，2,1)(1,2，1)(2，4,2) 2已知 A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC 2 5AB ，则 C 的坐标是( ) A. 。

3、1 11.21.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 1已知向量 a 和 b 的夹角为 120 ，且|a|2，|b|5，则(2ab) a 等于( ) A12 B8 13 C4 D13 答案 D 解析 (2ab) a2a2b a2|a|2|a|b|cos 120 2425 1 2 13. 2 已知两异面直线的方向向量分别为 a， b， 且|a|b|1， a b1 2， 则两直线的夹角。

4、的值为()A. B.C. D.解析如图，设正方体棱长为2，则易得(2，2，1)，(2，2，1)，cos，sin，.答案B3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A.B.C.D.与的大小不能比较解析取BD的中点F，连接EF，则EF綉CD，因为，90，因为0，0，所以.答案C4.已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A.1 B. C. D.解析由题意得，kab(k1，k，2)，2ab(3，2，2).所以(kab)(2ab)3(k1)2k225k70，解得k.答案D5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是。

5、数量积都为 0. 2.空间向量数量积的性质 (1)aba b0. (2)|a|2a a，|a| a a. (3)cosa，b a b |a|b|(a0，b0). 3.空间向量数量积的运算律 (1)(a) b(a b)(R). (2)a bb a(交换律). (3)a (bc)a ba c(分配律). 特别提醒：不满足结合律(a b) ca (b c). 1.对于非零向量 b，由 a bb c，可得 ac.( ) 2.对于向量 a，b，c，有(a b) ca (b c).( ) 3.若非零向量 a，b 为共线且同向的向量，则 a b|a|b|.( ) 4.对任意向量 a，b，满足|a b|a|b|.( ) 题型一 数量积的计。

6、运算 空间向量a，b，其坐标形式为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,(a1b1，a2b2，a3b3),(a1b1，a2b2，a3b3),(a1，a2，a3),a1b1a2b2a3b3,知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则,a1b1a2b2a3b30,1.在空间直角坐标系中，向量 的坐标与终点B的坐标相同.( ) 2.设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)且b0，则ab ( ) 3.四边形ABCD是平行四边形，则向量 的坐标相同.( ) 4.设A(0，1，1)，O为坐标原点，则 (0，1，1).( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 空间向量坐标的计算,解析 (2a3b)(a2b)2a23ab4ab6b2262226。

7、 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，称为向量的数乘 几何 定义 0 a 与向量 a 的方向相同 a 的长度是 a 的长度的|倍 0 a 与向量 a 的方向相反 0 a0，其方向是任意的 运算律 分配律 (ab)ab 结合律 (a)()a 注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论. 空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要 条件是存在唯一一个实数 ，使得 a b. ? 1.若 ab0，则 ab0.( ) 2.设 R，若 ab，则 a 与 b 共线.( ) 3.OA OB AB .( ) 4.直线 l 的方向向量为 a，若 a平面 ，则 l平面 .( ) 题型一 空间向量的加减运算 例 1 如图，已知长方体 ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简 结果的向量. (1)AA CB ； (2)AA 。

8、单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cos。

9、理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1.空间向量的有关概念名称 概念 表示零向量 模为 0 的向量 0单位向量 长度( 模)为 1 的向量相等向量 方向相同且模相等的向量 ab相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 ab共面向量 平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要条件是存在实数 ，使得 ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中 x，yR ， a，b 为不共线向量.(3)空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x ，y，z，使得pxaybzc ，a，b，c 叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作 a， b，则AOB 叫做向。

10、间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示2相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.空间向量的线性运算问题 1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算提示：利用平行四边形法则、三角形法则等问题 2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律1空间向量的加减运算和数乘运算 OA B ab， A O Bab，Ca( R )2空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：abba；(2)结合律：(a b)ca( bc)；(3)分配律：( ab)ab( R).共线向量及共线向量定理空间中有向量 a，b，c( 均为非零向量) 问题 1：向量 a 与 b 共线的条件是什么？提示：存在惟一实数 ，使 a b.问题 2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定1共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量向量 a 与 b 平行，记作 ab.规定，零向量与。

11、第六节 空间向量及其运算 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的高考考查情况来看，空间向量及其运算是每年命 题的热点，独立考查较少，多与空间角距离的计算综合考 查，难度中等 本节通过空间向量的运算考查 考生的直观想象与数学运算核 心素养 授。

12、共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是2空间向量基本定理的推论设，是不共面的四点，则对于空间任一点，都存在唯一的有序实数组，使得，当且仅当_时，四点共面3单位正交基底设为有公共起点O的三个两两_的单位向量，我们称它们为单位正交基底用来表示4空间向量的坐标表示以的公共起点O为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz那么，对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量由空间向量基本定理可知，存在有序实数组，使得_我们把x，y，z称作向量在单位正交基底下的坐标，记作_注：向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响5单位正交基底之间的数量积运算（1）因为单位正交基底互相垂直，所以_（2）因为为单位向量，所以6空间向量的坐标运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到 设，则（1），。

13、叫作a，b的数量积，记作_，即_|a|b|cosa，b. 2.空间向量数量积的性质 (1)ab_ . (2)|a|2_，|a|_.,aa,|a|b|cosa，b,ab,ab,ab0,规定：零向量与任何向量的数量积都为0.,3.空间向量数量积的运算律 (1)(a)b_(R). (2)ab_(交换律). (3)a(bc)_(分配律). 特别提醒：不满足结合律(ab)ca(bc).,(ab),ba,abac,1.对于非零向量b，由abbc，可得ac.( ) 2.对于向量a，b，c，有(ab)ca(bc).( ) 3.若非零向量a，b为共线且同向的向量，则ab|a|b|.( ) 4.对任意向量a，b。

14、内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.空间向量的有关概念,知识梳理,ZHISHISHULI,0,1,相同,相等,相反,相等,平行或重合,平面,2.空间向量中的有关定理,(1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p ，其中x，yR，a，b为不共线向量. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p ，a，b，c叫做空间的一个基底.,xayb,xaybzc,3.空间向量的数量积及运算律,(1)数量积及相关概念 两向量的夹角,a，b,0a，b,则称a与b ，记作ab. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则 叫做向量a，b的数量积，记作 ，即 .,互相垂直,|a|b|cosa，b,ab,ab。

15、D.2,23.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a(a-b), 则实数 的值为( )A.-2 B.- C. D.2143 1454.已知 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足 =0, =0, =0,M 为 BC 的中点,则 AMD是( )A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定5.下列命题: 若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; 若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面; 若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面; 已知空间的三个向量 a,b,c,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x,y,z 使得 p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.36.在空间四边形 ABCD 中, 的值为 ( )+A.-1 B.0 C.1 D.27.已知。

16、若 向 量 a的 起 点是 A，终 点 是 B，可 记 作 a，也 可 记 作 AB ，其 模 记 为 |a|或 |AB | )(4)特殊向量单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定向量的方向单位向量有无数个，它们的方向不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向任意，但规定所有的零向量都相等 2空间向量的加减法与运算律空间向量的运算加法 abOB OA AB 减法 abCA OA OC 加法运算律(1)交换律：a bba；(2)结合律：(ab)ca(bc)平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减) 法运算加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变 判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同( )(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量( )(3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移( )(4)空间两非零向量相加时，一定可用。

17、75 空间直角坐标系空间向量及其运算空间直角坐标系空间向量及其运算 教材梳理 1空间向量的有关概念 1空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向 量 2零向量：规定的向量叫做零向量 3单位向量：的向量称为单位向量 4相反向量：与向量 a的。

18、1 11.11.1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 第第 1 1 课时课时 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 1(多选)下列说法中，正确的是( ) A模为 0 是一个向量方向不确定的充要条件 B若向量AB ，CD 满足|AB |CD |，AB 与CD 同向，则AB CD C若两个非零向量AB ，CD 满足AB CD 0，则AB ，CD 互为相反向量 D.AB CD 的充要条。

19、一般不单独命题，常以 简单几何体为载体；以解答题的形式出现， 考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角 的计算，解题要求有较强的运算能力. 1空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为 0 的向量 0 单位向量 长度(模)为 1 的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 ab 相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行 或重合的向量 ab 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要条件是存在实数 ，使得 ab. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中 x，yR，a，b 为不共线向量 (3)空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x，y，z，使得 p xaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底 3空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a。

20、 或3几个特殊的空间向量零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为相等向量方向相同且_的向量称为相等向量4空间向量的加法和减法运算已知空间向量a，b，可以把它们平移到同一个平面内，以任意点O为起点，作向量，如图1所示类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算(如图2所示)：，图1图25空间向量的加法运算律（1）交换律：；（2）结合律：用图1、图2来验证空间向量的加法运算律如下：图1图2以上运算律对于多个空间向量的加法也是成立的6空间向量的数乘运算（1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算（2）向量与a的关系：如图，当时，与向量a的_；当时，与向量a的_的长度是向量a的长度的倍（3）空间向量的数乘运算律：分配律：；结合律：7。