全国重点高中竞赛讲座

1、竞赛讲座竞赛讲座 01 奇数和偶数奇数和偶数 整数中，能被 2 整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用 2k 表示 ，奇数可用 2k+1 表示，这里 k 是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质： （1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数； （2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；。

2、竞赛讲座竞赛讲座 03 -同余式与不定方程同余式与不定方程 同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍 有关的基本内容. 1. 同余式及其应用 定义:设 a、b、m 为整数（m0），若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余.记为或 一切整数 n 可以按照某个自然数 m 作为除数的余数进行分类， 即 n=pm+r （r=0， 1，。

3、竞赛专题讲座竞赛专题讲座 0404 平面几何证明平面几何证明 竞赛知识点拨竞赛知识点拨 1 1 线段或角相等的证明线段或角相等的证明 （1） 利用全等或相似多边形； （2） 利用等腰； （3） 利用平行四边形； （4） 利用等量代换； （5） 利用平行线的性质或利用比例关系 （6） 利用圆中的等量关系等。 2 2 线段或角的和差倍分的证明线段或角的和差倍分的证明 （1） 转化为相等问题。如要证。

4、竞赛专题讲座竞赛专题讲座 06 平面几何四个重要定理平面几何四个重要定理 四个重要定理：四个重要定理： 梅涅劳斯梅涅劳斯(Menelaus)(Menelaus)定理（梅氏线）定理（梅氏线） ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q、R，则 P、Q、 R 共线的充要条件是 。 塞瓦塞瓦(Ceva)(Ceva)定理（塞瓦点）定理（塞瓦点） ABC 的三边 BC、CA、AB 上有点 P。

5、竞赛讲座竞赛讲座 05 几何解题途径的探求方法几何解题途径的探求方法 一充分地展开想象一充分地展开想象 想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。想象力对于人们的创造性劳动 的重要作用，马克思曾作过高度评价： “想象是促进人类发展的伟大天赋。 ”解题一项创造 性的工作，自然需要丰富的想象力。在解题过程中，充分展开想象，主要是指： 1全面地设想全面地设想 设想，是指对同一问题从各个不同的。

6、竞赛专题讲座竞赛专题讲座 08 几何变换几何变换 【竞赛知识点拨】【竞赛知识点拨】 一、一、 平移变换平移变换 1 定义 设是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得=，则 T 叫做沿有向线段的平移变换。记为 XX，图形 FF 。 2 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为 三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向。

7、竞赛讲座 09 圆 基础知识 如果没有圆，平面几何将黯然失色 圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系， 和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系 圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何 问题， “三角形的心” ， “几何著名的几何定理” ， “共圆、共线、共点” ， “直线形” 将构成圆 。

8、竞赛讲座竞赛讲座 07 -面积问题和面积方法面积问题和面积方法 基础知识基础知识 1面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形， 故在面积公式中最基本的是三角形的 面积公式它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用 设ABC，cba,分别为角CBA,的对边， a h为a的高，R、r分别为ABC外接 圆、内切圆的半径，)( 2 1 cbap则ABC的面积有如下公式： （1） aABC。

9、竞赛讲座竞赛讲座 1010 -抽屉原则抽屉原则 大家知道，两个抽屉要放置三只苹果，那么一定有两只苹果放在同一个抽屉里， 更一般地说，只要被放置的苹果数比抽屉数目大，就一定会有两只或更多只的苹果 放进同一个抽屉，可不要小看这一简单事实，它包含着一个重要而又十分基本的原 则抽屉原则. 1 抽屉原则有几种最常见的形式 原则 1 如果把 n+k(k1)个物体放进 n 只抽屉里，则至少有一只抽屉要放。

10、竞赛讲座竞赛讲座 1111 三角运算及三角不等关系三角运算及三角不等关系 三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理（和、差、倍、半角公式 等的统称） ，对三角式作各种有目的的变形（主要指恒等变形） ，有时表现为计算求值、有 时表现为推理证明。由于三角公式很多，并且存在着联系，因此一定要注意选择公式的目 的性与简单性。 三角运算 一三角运算的常规思考 三角运算主权涉及 3 个主要。

11、竞赛讲座竞赛讲座 1212 覆盖覆盖 一个半径为 1 的单位圆显然是可以盖住一个半径为的圆的反过来则不然，一个 半径为的圆无法盖住单位圆那么两个半径为的圆能否盖住呢？不妨动手实验 一下，不行为什么不行？需几个这样的小圆方能盖住大圆？，这里我们讨论 的就是覆盖问题，它是我们经常遇到的一类有趣而又困难的问题 定义 设和是两个平面图形 如果图形或由图形经过有限次的平移、 旋转、 对称等变换扣得到的大小。

12、竞赛讲座竞赛讲座 13 平面三角平面三角 三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中 有着广泛的应用同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一 一、三角函数的性质及应用一、三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、 最值等这 里以单调性为最难它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广 泛的应用 【例 1】 求函数。

13、竞赛讲座竞赛讲座 14 -染色问题与染色方法染色问题与染色方法 1 小方格染色问题 最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类 问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧. 例 1 如图 29-1(a),3 行 7 列小方格每一个染上红色或蓝色.试证:存在一个矩形,它 的四个角上的小方格颜色相同. 证明 由抽屉原则,第1行的7个小方格至少有4个不同色,不。

14、竞赛讲座 15 -函数方程 一、相关知识 函数方程)()(xfxf的解是 函数方程)()(axfxf )0(a的解是 二、函数方程的题型 许多函数方程的解决仅以初等数学为工具， 解法富于技巧， 对人类的智慧具有明显的挑 战 意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。 1、确定函数的形式 尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限。

15、竞赛讲座 16 不等式 不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的 技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、 函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特 别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。 证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异， 灵活多变，技巧性强。但它也有。

16、竞赛讲座 20 -容斥原理 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限 集合 A 的元素个数(新教材中用CardA表示有限集合 A 的元素个数)。 原理一：原理一：给定两个集合 A 和 B，要计算 AB 中元素的个数，可以分成两步进行： 第一步： 先求出A+B （或者说把 A， B 的一切元素都“包含”进来， 加在一起） ； 第二步：减去AB（即“排除”加了两次的元素）。

17、竞赛专题讲座竞赛专题讲座 18 类比、归纳、猜想类比、归纳、猜想 数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测 的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想， 进而达到解决问题的目的类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法 所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有 可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不。

18、竞赛讲座竞赛讲座 1919 - -排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理 基础知识基础知识 1排列组合题的求解策略 （1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除， 这是解决排列组合题的常用策略 （2）分类与分步 有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各 类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的 方。

19、竞赛讲座竞赛讲座 17 -数学归纳法数学归纳法 基础知识基础知识 数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法 在 数学竞赛中占有很重要的地位 1数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果 当 0 nn （Nn 0 ）时，)(nP成立； 假设),( 0 Nknkkn成立，由此推得1 kn时，)(nP也成立，那么，根据 对一切正整。

20、竞赛讲座竞赛讲座 21 应用题选讲应用题选讲 应用题联系实际，生动地反映了现实世界的数量关系，能否从具体问题中归纳出 数量关系，反映了一个人分析问题、解决问题的实际能力. 列方程解应用题，一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几个步骤. 下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题，从中体现解应用题的技能和技巧. 1.合理选择未知元 例 1 （1983 年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从 。