四年级奥数培优教程讲义第

1、枚举法。
运用枚举法解决应用题时，必须注意无重复、无遗漏。
为此必须力求有次序、有规律地进行枚 举。
例例 1、 从小华家到学校有 3 条路可走， 从学校到文峰公园有 4 条路可走。
从小华家到文峰公园， 有几种不同的走法？ 【解析】为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。
我们把小华的不同走法一一列举如下： 典例分析 知识梳理 教学目标 根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走路有 4 种不同走法，走路有 4 种不 同走法，走路也有 4 种不同走法，共有 4 3=12 种不同走法。
例例 2、用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 【解析】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。
可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号； 绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号； 黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号， 因而共有 3 个 2 种不同排列方法，即 2 3=6 种。
例例 3、一个长方形的周长是 22 米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多 少种可。

2、确的答案。
二、解题策略二、解题策略 解答这类题，往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手分析错误的原因，最后利用和差 的变化求出加数或被减数、减数，利用积、商的变化求出因数或被除数、除数。
考点一：简单的加减乘除问题考点一：简单的加减乘除问题 例例 1、小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的 5 错看成 2，另一个加数个位上的 4 错看 成 1，结果计算的和为 24正确的和是多少？ 【解析】把一个加数十位上的 5 看成 2，少了 3 个 10，这样和就减少了 30；把另一个加数个 位上的 4 看作 1，少了 3 个 1，这样和就少了 小马虎算出的和比原来的和少了 303=33， 所以正确的和是 24133=27 例例 2、 小明在做一道加法时， 把一个加数个位上的 2 看作了 4， 另一个加数个位上的 7 看作 9， 结果计算的和为 21正确的和为多少？ 【解析】把一个加数的个位数上的 2 看成了 4,则结果增加了 2; 教学目标 知识梳理 典例分析 另一个加数个位上的 7 看成了 9,则结果又增加了 2, 所以现在结果一共增加了 4.那么正确的和是 215-4。

3、方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相 对应，相除后得到的结果是一倍量 差倍问题的基本关系式：差 (倍数1)=1倍数(较小数) 1倍数 几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数 解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系 年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。
例例 1、李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？ 【解析】引导学生画图，但是一定要强调差所对应的份数， 这样我们就可以求一份量（一倍量），从而解决题目 与18只相对应，这样就可以求出一倍数也就是鹅的只数， 求出了鹅的只数，鸭的只数就容易求出来了 鸭与鹅只数的倍数差是3 12 （倍）， 鹅有1829 (只)，鸭有 9327(只). 例例 2、箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球每次取出 5 个乒乓球和 3 个羽毛球，取了几次之后，乒乓球 恰好没有了，羽毛球还有 6 个，则一共取了_次，原来有乒乓球和羽毛球各_个 典例分析 知识梳理 教学目标 【解析】共取了6(。

4、理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。
一般可以从以下几方面考虑： 1、选准突破口，分析时综合几个条件进行判断； 2、根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论； 3、对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的； 4、遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。
例例 1、有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。
冬冬说：“兰兰做的比静静多。
”兰兰说：“冬冬做的比静静多。
” 静静说：“兰兰做的比冬冬少。
”这三位小朋友中，谁做的好事最多？谁做的好事最少？ 【解析】我们用“”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系：兰兰静静，冬冬静静，冬冬兰兰 所以，冬冬兰兰静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少。
例例 2、卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。
现在只知道：卢刚和医生不同岁；医 生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大。
问：谁是工程师、谁是医生、谁是飞行员？ 【解析】卢刚和医生不同岁，所以卢刚不是医生，医生比丁飞年龄小，丁飞也不是医生，那么只有陈瑜是 医生；由此为突破口，进行推理，找出各自的职。

5、积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小） 值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题” 二、时间最优问题策略二、时间最优问题策略 在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题： （1）要做哪几件事； （2）做每件事需要的时间； （3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。
在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。
考点一：烧水问题考点一：烧水问题 例例 1 1、明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶 1 分钟，烧开水 12 分钟，把水灌入水瓶要 2 分钟，吃早点要 8 分钟，整理书包 2 分钟。
应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？ 【解析】经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。
水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和 烧开水同时进行。
这一过程可用方框图表示： 教学目标 知识梳理 典例分析 从图上可以看出，洗水壶要 1 分钟，接着烧开水要 12 分钟，在等水开的同时吃早点、整 理书包，水开了就灌入水瓶，共需 15 分。

6、原理，简称容斥原理 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含” 进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B 类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类 的元素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示如下： 知识梳理 教学目标 1先包含AB 重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2再排除ABAB 把多加了1次的重叠部分AB减去 在解答有关包含排除问题时，我们。

7、15; 相遇时间 （甲的速度+乙的速度） 相遇时间 速度和 相遇时间. 一般地，相遇问题的关系式为：速度和 相遇时间=路程和，即 S=vt 例例 1、 一辆客车与一辆货车同时从甲、 乙两个城市相对开出， 客车每小时行 46 千米， 货车每小时行 48 千米。
3.5 小时两车相遇。
甲、乙两个城市的路程是多少千米？ 【解析】本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为： （46+48） 3.5=94 3.5=329（千米） 例例 2、大头儿子的家距离学校 3000 米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们 同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走 24 米，50 分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多 少米？ 【解析】大头儿子和小头爸爸的速度和：3000 50=60 (米/分钟)， 小头爸爸的速度：（60+24） 2 =42(米/分钟)， 大头儿子的速度：60-42=18 (米/分钟) 典例分析 知识梳理 教学目标 例例 3。

8、么， 有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后，这些图形重重叠叠地交错在一起时 就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需 要仔细地观察， 灵活地运用有关的知识和思考方法， 掌握数图形的规律， 才能获得正确的结果。
二、解题策略二、解题策略 要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点： 1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
考点一：基本图形考点一：基本图形 例 1、数出下图中有多少条线段？ 【解析】 方法一： 我们可以采用以线段左端点分类数的方法。
以 A 点为左端点的线段有： AB、 教学目标 知识梳理 典例分析 AC、AD 3 条；以 B 点为左端点的线段有：BC、BD 2 条；以 C 点为左端点的线段有：CD 1 条。
所以，图中共有线段 3+2+1=6（条）。
方法二：把图中线段 AB、BC、CD 看做基本线段来数，那么，由 1 条基本线段构成的线 段有：AB、BC、CD 3 条；由 2 条基本线段构成的线段有:AC、BD 2 条；由。

9、树，则棵数就比在两端植树时的棵数少 1，即棵数与 段数相等. 全长、棵数、株距之间的关系就为：全长株距棵数； 棵数段数全长株距； 株距全长棵数. 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比中还少 1 棵. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数段数1 全长株距1. 株距全长(棵数1). 全长株距(棵数+1) （二）封闭的植树路线. 在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数 等于分成的段数. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数段数周长株距. 二、解植树问题的三要素二、解植树问题的三要素 （1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数， 知识梳理 教学目标 只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个 三、方阵问题三、方阵问题 （1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别. （2）每边的个数总数4 1”； （3）每向里一层每边棋子数减少2； （4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
例例 1、大头儿子的学校旁边的一条路长 400 米，在路的一边从头到尾每隔 。

10、 m 不变 m 不变 m m m m 不变 乘、除变化规律见下表0m 被乘数 a 乘数 b 积 c m 不变 m 不变 m m m m 不变 被除数 a 除数 b 商 c 教学目标 知识梳理 m 不变 m 不变 m m m m 不变 我们学习了和、差、积、商的变化规律，这一周，我们利用这些规律来解决一些较简单的 问题。
考点一：和、差的变化规律考点一：和、差的变化规律 例例 1、两个数相加，一个加数增加 9，另一个加数减少 9，和是否发生变化？ 【解析】一个加数增加 9，假如另一个加数不变，和就增加 9；假如一个加数不变，另一个加 数减少 9，和就减少 9；和先增加 9，接着又减少 9，所以不发生变化。
例例 2、两个数相加，。

11、如果每 人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题 叫做“盈亏问题”。
可以得出盈亏问题的基本关系式： (盈+亏) 两次分得之差=人数或单位数 (盈盈) 两次分得之差=人数或单位数 (亏亏) 两次分得之差=人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两 个数的差求未知数的“盈亏问题”。
二、方法技巧二、方法技巧 注意 1.条件转换 2.关系互换 考点一：直接计算型盈亏问题考点一：直接计算型盈亏问题 知识梳理 典例分析 教学目标 例 1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动如果每人搬 4 块砖，还剩 7 块；如果每人搬 5 块，则 少 2 块砖这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？ 【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬 4 块，还剩 7 块砖；每人搬 5 块，就少 2 块这两 次 搬砖，每人相差 5-4=1（块）。
第一种余 7 块，第二种少 2 块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9 （块），每人相。

12、 学会了推理， 能使你变得更聪明， 头脑更灵活。
数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这类推理题时，要求同学们仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解 题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。
二、解题策略二、解题策略 解答推理问题，要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。
推理要有条理地进行， 要充分利用已经得出的结论，作为进一步推理的依据。
考点一：图形推理考点一：图形推理 例 1、下式中，和 各代表几？ =28 = =（ ） =（ ） 【解析】 根据 =28， 我们可以得出=28 ； 由= 得到 28= ， 4 个 等于 28，一个 等于 28 4=7；由= 可求出=777=2 例 2、下式中，各种图形各代表几？ 教学目标 知识梳理 典例分析 =18 = =（ ） =（ ） 【解析】=18，=6，=12. 例 3、下式中，和 各代表几。

13、二、解题策略 遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。
例例 1、小刚的奶奶今年年龄减去 7 后，缩小 9 倍，再加上 2 之后，扩大 10 倍，恰好是 100 岁。
小刚的奶奶 今年多少岁？ 【解析】 从最后一个条件恰好是 100 岁向前推算， 扩大 10倍后是 100岁， 没有扩大 10 倍之前应是 100 10=10 岁；加上 2 之后是 10 岁，没有加 2 之前应是 102=8 岁；没有缩小 9 倍之前应是 8 9=72 岁；减去 7 之后 是 72 岁，没有减去 7 前应是 727=79 岁。
所以，小刚的奶奶今年是 79 岁。
例例 2、一个数的 3 倍加上 6，再减去 9，最后乘上 2，结果得 6这个数是多少？ 【解析】运用逆推的思想：60 除以 2 得 30，加上 9 得 39，减去 6 得 33，除以 3 得 11. 知识梳理 典例分析 教学目标 例例 3、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多 10 台，下午售出剩下的一半多 20 台，还剩 95 台。
这个 商场原来有洗衣机多少台？ 【解析】从“下午售出剩下的一半。

14、谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口找到突破口，逐步试验，分 析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值法倒推法、凑整法、估值法等。
3、解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点： 1认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断； 2利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字； 3试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的； 4算式谜解出后，要验算一遍。
考点一：加减法算式谜考点一：加减法算式谜 例例1、在下面的算式内，各填上一个合适的数字，使等式成立。
【解析】 典例分析 知识梳理 教学目标 5 2 - 2 8 2 4 2 - 2 2 4 4 9 - 7 1 7 5 2 - 8 5 3 6 4 9 2 - 3 1 7 1 7 5 7 2 4 - 1 8 8 5 3 6 例例 2、在下面算式的括号里填上合适的数。
【解析】根据题目特点，先看个位：75=12，在和的个位（ ）中填 2，并向十位进一；再看 十位。

15、原理，简称容斥原理 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含” 进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B 类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类 的元素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示如下： 知识梳理 教学目标 1先包含AB 重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2再排除ABAB 把多加了1次的重叠部分AB减去 在解答有关包含排除问题时，我们。

16、使隐蔽的数量关 系明朗化。
例例 1、人民路小学操场长 90 米，宽 45 米。
改造后，长增加 10 米，宽增加 5 米。
现在操场面 积比原来增加了多少平方米？ 【解析】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积。
操场现在的面积是（90+10） （45+5）=5000 平方米， 操场原来的面积是 90 45=4050 平方米。
所以，现在的面积比原来增加 50004050=950 平方米。
例例 2、一个长方形，如果宽不变，长增加 6 米，那么它的面积增加 54 平方米；如果长不变， 宽减少 3 米，那么它的面积减少 36 平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米？ 【解析】由“宽不变，长增加 6 米，面积增加 54 平方米”可知，它的宽为 54 6=9 米； 由“长不变，宽减少 3 米，面积减少 36 平方米”可知，它的长为 36 3=12 米。
所以，这个长方形原来的面积是 12 9=108 平方米。
例例 3、下图是一个养禽专业户用一段 16 米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。
典例。

17、相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认 为是正确的。
对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考： 1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方 法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位 置有关，这是我们解这类题的突破口。
3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。
考点一考点一: :发现数列规律发现数列规律 知识梳理 教学目标 典例分析 例例 1、填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ） （2）1，2，4，7，11，（ ），（ ） （3）2，6，18，54，（ ），（ ） 【解析】（1）前一个数加上 3 就等于后一个数，也就是相邻两个数的差都是 3.根据这一。

18、第二项起，每一项比前一项小 5 ，递减数列 二、等差数列与公差二、等差数列与公差 一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列， 其中相邻两项的差叫做公差。
三、常用公式三、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）项数2 项数=（末项-首项）公差+1 末项=首项+公差（项数-1） 首项=末项-公差（项数-1） 公差=（末项-首项）（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数 中项定理：中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等 于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数 考点一：等差数列的基本认识考点一：等差数列的基本认识 教学目标 知识梳理 典例分析 例例 1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
6，10，14，18，22，98； 1，2，1，2，3，4，5，6； 1，2，4，8，16，32，64； 9，8，7，6，5，4，3，2； 3，3，3，3，3，3，3，3； 1，0，1，0，l，0，1，0； 【考点】等差数列的。

19、我们称为简单周期问题。
这类问 题一般要利用余数的知识来解答。
二、解题策略二、解题策略 在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的 固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
考点一：一般周期问题考点一：一般周期问题 例 1、小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先 2 个红的、后 1 个白的、再 3 个黑的的规律排列（如下图）， 请你算一算，第 32 个珠子是什么颜色？ 【解析】 从上图可以看出， 珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列， 即 6 个珠子为一周期。
32 6=5 （组） 2 （个） ， 32 个珠子中含有 5 个周期多 2 个， 所以第 32 个珠子就是重复 5 个周期后的第 2 个珠子， 应为红色。
例例 2、你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第 20 个图形分别是什么。
（1） （2） 知识梳理 典例分析 教学目标 【解析】第（1）题排列规律是“”两个图形重复出现，20 2=10，即“”重复出现 10。

20、生活中我们会遇到这样的问题：几个杯子中的水有多有少，为了使每个杯子中的水一样 多，就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子里的水一样多。
这就 是我们所讲的“移多补少”，通常称之为平均数问题。
求平均数问题的基本数量关系是： 总数量 总份数=平均数。
解答平均数问题的关键是要求出 总数量和总份数的，然后根据基本总量关系式来解答。
也可采用假设平均数的方法，即找一个 基数，用“基数+各数与基数的差之和 份数=平均数”公式求平均数。
考点一考点一：用基本关系式求平均数：用基本关系式求平均数 例例 1、用 4 个同样的杯子装水，水面的高度分别是 8 厘米、5 厘米、4 厘米、3 厘米。
这 4 个杯 子里水面的平均高度是多少厘米？ 教学目标 知识梳理 典例分析 【解析】利用平均数问题的基本数量关系是：总数量 总份数=平均数。
根据已知条件，求出 4 个杯子里水的总高度，然后除以杯子的个数，即可求出平均数。
（8+5+4+3） 4=5(厘米） 答：这 4 个杯子里水面的平均高度是 5 厘米。
解：（800+150） 19=。