思维特训

1、思维特训(十三) 图形与一元一次方程方法点津 利用几何图形的性质，如长方形的长和宽的数量关系、正方形的边长相等或图形的面积等，可建立一元一次方程来解有关几何图形的实际问题典题精练 类型一 以图形为载体的常规问题1如图 13S1 所示，甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400 米，乙每秒跑 6 米，甲的速度是乙的 倍43(1)如果甲、乙在跑道上相距 8 米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？(2)如果甲在乙前面 8 米处，两人同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？图 13S12小亮做了一个用于放试管的木架子，。

2、思维特训(九) 相似三角形的基本模型几何图形大都由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于我们快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法类型一 平行线型如图 9S1，若 DEBC，则ADEABC，形象地说图为“A”型，图为“X”型，它们都是平行线型的基本图形图 9S11如图 9S2，在ABCD 中，E 是 AB 延长线上一点，连接 DE 交 AC 于点 G，交BC 于点 F，则图中相似三角形 (不含全等三角形)共有_ 对图 9S22如图 9S3，已知 ECAB，EDA ABF.求证：OA 2OE OF.图 9S3类型二 相交线型常见的有如下三种情形：如图 9S4，已知1B。

3、思维特训(七) 含有字母的绝对值的化简方法点津 1绝对值的性质：|a| a（a0），0（a 0）， a（ab0，则 ab0；若 0ba，则 ab|b| ，则 ab 的符号与 a 的符号保持一致典题精练 类型一 以数轴为背景的绝对值的化简1(1)一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到_ 的距离；(2)若|a|a，则 a_0；(3)有理数 a，b 在数轴上的位置如图 7S1 所示，请化简：|a|b| |a b|.图 7S12已知数 a，b，c 在数轴上的位置如图 7S2 所示，化简：|ab|a b|ac|.图 7S23有理数 a，b，c 在数轴上的位置如图 7S3 所示，化简：|a c| |ab|b c|b|.图 7S34有理数 a，b，c 在数。

4、思维特训(十五) 以数轴为载体的方程问题方法点津 1如图 15S1，数轴上点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，则 A，B 两点之间的距离可以表示为 AB|ab |，或用右边的数减去左边的数为 ABba.图 15S12通常利用数轴上距离(路程 )之间的数量关系，列出一元一次方程，解决相遇与追及问题相遇问题的基本相等关系是“两点初始距离等于两点所走的路程和” ；追及问题的基本相等关系是“两点的路程差等于两点的初始距离” 典题精练 类型一 相遇问题1如图 15S2，已知数轴上有 A，B，C 三点，分别表示有理数26，10，10，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1。

5、思维特训( 六) “非负数的和为 0”问题方法点津 1已学过的非负数形式有两种：a 20，|a| 0.2若几个非负数的和为 0，则这几个数都为 0.典题精练 类型一 求值题1若|a2| |b 1|0，求 ba 的值2若|a2| 与|b 3|互为相反数，求 ab 的值3已知(b3) 2(a2) 20，求 ba 的值4如图 6S1 是一个数值转换器的示意图，当输入的 x 与 y 满足(x1) 2 与(y )212互为相反数时，请列式求出输出的结果图 6S15已知|1 | (b3) 2|c 5| 0，求 3ab2c 的值a26已知|ab2|与(b1) 2 互为相反数，试求式子 的值1ab 1（a 1）（b 1） 1（a 2）（b 2） 1（a 2018）（b 2018）类型二 。

6、思维特训(五) 有理数运算的特殊方法方法点津 1整体法：整体法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理2倒数法：由于除法对加法没有分配律，因此一个数除以几个加数的和的运算可以转化成先求其倒数，即将除法对加法转化为加法对乘法，再利用分配律，实现巧求解的目的3拆项法：在计算分数的加、减法时，将其中一些分数拆开，使得拆开后的一些分数可以互相抵消，以达到简化运算的目的。

7、思维特训(二十一) 角的运动问题方法点津 角的运动主要包括角的旋转、折叠以及三角尺的旋转解决策略：在某一时刻，利用角的位置(大小) ，建立方程求解，或借助整体思想、分类讨论思想、数形结合思想进行探究与求解典题精练 类型一 角的折叠1(1)如图 21S1，OC 是AOB 内的一条射线将 OB，OA 向AOB 内部翻折，使射线 OA，OB 都与射线 OC 重合，折痕分别为 OE，OF，EOF25，求AOB的度数；(2)如图，MON 20，OC 是MON 内部的一条射线，第一次操作分为两个步骤：第一步：将 OC 沿 OM 向MON 外部翻折，得到 OM1，第二步：将 OC 沿 ON 向MON外部翻折。

8、思维特训(十六) 线段计算中的数学思想方法点津 方程思想是指把数学问题通过适当的途径转化为方程，从而使问题得到解决的思想方法有关线段比的问题(或倍或几分之一 )常常通过列方程求解分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干个不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种解题思想在线段计算中，由于线段及端点的不确定性往往需要分类讨论整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法在线段计算中，求一条线段上两个中点之间的距离时常用到整体的思想典题精练 类型一。

9、思维特训(十七) 线段上的动点问题方法点津 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系线段上的动点问题一般有两种类型：(1)动点无速度型，主要利用两点间的距离、线段的和差关系、线段中点的性质，结合方程求解；(2)动点有速度型，主要利用路程时间速度，结合线段有关的知识，通过方程来求解典题精练 类型一 动。

10、思维特训(九) 整式加减中的“无关”问题方法点津 一般来说，整式的值与整式所含字母的取值是有关的，当字母取唯一数值时，得到的整式的值也是唯一的，但当整式不含这个字母时，整式的值便与这个字母的取值无关典题精练 类型一 同一字母取不同数值时，整式的值不变此种情况说明整式的值与此字母的取值无关，即整式化简后的结果中这个字母的系数为 0.1一天，数学老师布置了一道数学题：已知 x2018，求整式(x 36x 27x8)(x 23x2x 33)(x 35x 24x1) 的值，小明观察后提出：“已知 x2018 是多余的 ”你认为小明的说法有道理吗？请说明理由2课堂上。

11、思维特训(八) 整体法求整式的值方法点津 1整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理2根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化典题精练 类型一 已知一个代数式的值进行整体求值1若 mnm3，则 2mn3m5mn 10_2理解与思考：在某次作业中有这样的一道题：“如果式子 5a3b 的值为4，那么式子 2(ab)4(2a b)的值是多少？”小明是这样来解的：原式 2a2b8a4。

12、思维特训(十四) 反比例函数的综合应用与反比例函数图象有关的探索问题主要体现在两个方面，一是探索存在性，二是探究图形的形状及数量关系等解决有关问题需要把反比例函数的图象及图形的性质等综合在一起，还有要注意一些数学思想的灵活应用类型一 存在性问题1如图 14S1，一次函数 yk 1xb(k 10)与反比例函数 y (k20)的图象相交k2x于点 A(1，2)，B(m，1)(1)求这两个函数的表达式(2)在 x 轴上是否存在点 P(n，0)( n0)，使ABP 为等腰三角形？若存在 ，求出 n 的值；若不存在，请说明理由图 14S12如图 14S2，一次函数 y x1 的图象与 x 轴、 y 。

13、思维特训(一) 正方形的旋转变换解决与正方形旋转有关的题目，需要将旋转的性质与正方形的性质相结合，通过借助特殊的三角形、全等三角形、相似三角形等知识寻找解题思路1如图 1S1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，且EAF45，将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90，使点 E 落在点 E处，连接 EE，则下列判断不正确的是( )图 1S1AAEE 是等腰直角三角形BAF 垂直平分 EECEECAFDDAEF 是等腰三角形2如图 1S2，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 的边长分别为 a 和 b，正方形 CEFG绕点 C 旋转，给出下列结论： BE DG；BEDG；DE 2BG 22a 22b 2，其中正。

14、思维特训(十) 几何动态问题中的相似1我们以运动的观点探究几何图形的变化规律的问题称为动态几何问题随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现的图形的位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题2点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的数量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究3解决此类动点几何问题常用的是“类比发现法” ，也就是通过对两个或几个相类似数学研究对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的研究对。

15、思维特训(十二) 全等与相似的综合应用形状相同的两个图形称为相似图形若两个图形不仅形状相同，而且大小也相等，则二者是全等图形全等是相似的特殊情况，全等图形可以看作是相似比为 1 的特殊的相似图形证明全等的方法有“SSS” “SAS”“ASA”“AAS”“HL”，证明相似的方法有“三边对应成比例的两个三角形相似” “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” “两角分别相等的两个三角形相似”等类型一 与相似有关的多结论问题1如图 12S1，在ABC 中，AB BC ，ABC90，BM 是 AC 边上的中线，点 D，E 分别在边 AC 和 BC 上，DB DE，EFAC 于点。

16、思维特训(二) 巧用乘法运算律方法点津 有理数混合运算是代数运算的基础，一些有特点的运算题目可利用乘法交换律、结合律、正逆用乘法对加法的分配律，达到简化运算、提高正确率的目的典题精练 类型一 乘法交换律与结合律1计算：( )( )( )( )( )12 32 23 43 34 54 20152016 20172016 20162017 201820172阅读下列材料，回答问题：(1 )(1 ) 1；12 13 32 23(1 )(1 )(1 )(1 ) ( )( )1.12 14 13 15 32 54 23 45 32 23 54 45根据以上信息，求出下式的结果：(1 )(1 )(1 )(1 )&#。

17、思维特训( 八) k 值法的妙用学习了比例的性质后，经常遇到和比例有关的问题，解决此类问题常用的方法是“设k 值” 利用这种方法可以巧妙地解决许多问题 “设 k 值”法在解题中的应用不止以下五个方面，随着所学知识的增加，你还会发现它更多的妙用类型一 用于化简求值1已知 ，求 的值x2 y3 z4 xy yz 3zxx2 y2 z2类型二 用于解方程组2解方程组： x2 y3，x y 20.)类型三 用于比较大小3已知 a，b，c，d 是互不相等的实数，其中 a 最小，d 最大，且满足 ，试判断ab cdad 与 bc 的大小类型四 用于解决几何问题4已知 a，b，c 为ABC 的三条边长，。

18、思维特训(三) 定义新运算方法点津 定义新运算是一种特别设计的、人为的、临时的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如：*， ，等来表示的一种运算其解题方法是：(1)理解新定义的算式含义；(2)严格按照新定义的计算程序，将数值代入，将其转化为常规的加减乘除乘方运算，然后计算得结果典题精练 类型一 定义新运算运算类1定义一种新运算，观察下列式子：131336；323228；3535520；5353318.(1)填一填：24_，ab_；(2)请你依照上述运算方法，求( 37)2 的值2定义一种关于“”的新运算，观察下列式子：131437；3(1)34( 1)11；5454424；4(3)44(。

19、思维特训(十八) 钟表问题方法点津 1钟表上的夹角：钟表上共有 12 个大格，每个大格对应的角为 30，共有 60 个小格，每个小格对应的角为 6.2时针与分针转动的度数关系：时针每小时转 30，时针每分钟转 0.5；分针每小时转 360，分针每分钟转 6；时针旋转 30时，分针旋转 360，故时针旋转 1时，分针旋转 12.3以上述两点为基础，利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形通过两个角的和差，可解决有关钟表的问题典题精练 类型一 由时间求时针与分针的夹角1如图 18S1，8 点整，时针与分针的夹角是( )图 18S1A60 B80 C120 D1502时钟显示为 。

20、思维特训(十二) 古代问题方法点津 1 九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中的一种该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就2 算法统宗全称新编直指算法统宗 ，是中国古代数学名著，程大位著它是一部应用数学书，是以珠算为主要的计算工具，列有 595 个应用题的数字计算，都不用筹算方法，而是用珠算演算3 算学启蒙分上、中、下三卷，元大德己亥(1299 年) 朱世杰撰，共 20 门，凡 259问4 孙子算经是中国古代重要的数学著作约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年份不详典题精练 类型一 九。