向量的加减运算学案

1、1.7 有理数的加减混合运算有理数的加减混合运算 学习目标：学习目标： 1.理解加减法统一成加法的意义，能熟练地进行有理数加减法的混合运算；重点 2.通过加减法的相互转化，培养应变能力计算能力.难点 学习重点：学习重点：将加减混合运算统一成。

2、12.3 分式的加减分式的加减 第第 1 课时课时 分式的加减运算分式的加减运算 学习目标：学习目标： 1.通过类比同分母分数的加减法则，探索同分母分式的加减法则. 2.能准确确定几个异分母分式的最简公分母，并会运用通分进行转化成同分母分式。

3、2)3(2a8b)6(4a2b)(6a24b24a12b)(18a36b)ab.点评向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a，b，c等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量二、求参数例2如图，已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m_.答案3解析如图，因为0，即()，即，延长AM，交BC于D点，所以D是BC边的中点，所以2，所以，所以23，所以m3.点评求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线。

4、两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.(2)abab0a1b1a2b20.知识点二向量模的坐标表示及两点间距离公式(1)向量的长度公式：设a(a1，a2)，则|a|.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.知识点三两个向量夹角余弦的坐标表达式设a(a1，a2)，b(b1，b2)，a与b的夹角为，则cos .1.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.()2.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.()3.若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是锐角.()提示当两向量同向共线时，cos 10，但夹角0，不是锐角.4.两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a与b的夹角为0.()题型一平面向量数量积的坐标运算例1已知a与b。

5、23.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 23.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘 向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来 知识点一 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解 知识点二 平面向量的坐标表。

6、1平面向量的坐标(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a(x，y)(2)在平面直角坐标平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)2点的坐标与向量坐标的区别和联系区别表示形式不同向量a(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点三平面向量的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2).数学公式文字语言表述向量加、减法ab(x1x2，y1
。

7、角的定义(1)已知两个非零向量a，b，作a，b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a，b，并规定它的范围是0a，b.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有a，bb，a.(2)当a，b时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作ab.(3)在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直.知识点二向量在轴上的正射影向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图).作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos .知识点三向量的数量积(内积)向量数量积的定义|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cosa，b.知识点四向量数量积的性质两个向量内积有如下重要性质(1。

8、定理可知，有且只有一对有序实数x，y，使得axiyj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a(x，y)(2)在平面直角坐标平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)2点的坐标与向量坐标的区别和联系区别表示形式不同向量a(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点二平面向量的坐标运算1设a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数数学公式文字语言表述向量加法ab(x1x2，y1y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法ab(x1x2，y1y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的。

9、量垂直abx1x2y1y20知识点二平面向量的模向量的模及两点间的距离向量模a(x，y)|a|以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量|知识点三向量的夹角设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，则cos .思考若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝角吗？答案不一定，当cos 0，则两向量的夹角一定是锐角()提示当两向量同向共线时，cos 10，但夹角0，不是锐角3两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a与b的夹角为0.()题型一数量积的坐标。

10、 或3几个特殊的空间向量零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为相等向量方向相同且_的向量称为相等向量4空间向量的加法和减法运算已知空间向量a，b，可以把它们平移到同一个平面内，以任意点O为起点，作向量，如图1所示类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算(如图2所示)：，图1图25空间向量的加法运算律（1）交换律：；（2）结合律：用图1、图2来验证空间向量的加法运算律如下：图1图2以上运算律对于多个空间向量的加法也是成立的6空间向量的数乘运算（1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算（2）向量与a的关系：如图，当时，与向量a的_；当时，与向量a的_的长度是向量a的长度的倍（3）空间向量的数乘运算律：分配律：；结合律：7。

11、6,2平面向量的运算,知识点梳理,知识点一,向量加法的三角形法则与平行四边形法则1,向量加法的概念及三角形法则已知向量,在平面内任取一点A,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作,即如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法。

12、ab)ca(bc)错误分配律(ab)cacbc(ab)cacbc正确消去律abbc(b0)acabbc(b0)ac错误知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b2(ab)(ab)a2b2(abc)2a2b2c22ab2bc2ca(abc)2a2b2c22ab2bc2ca梳理与多项式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“”1向量的数量积运算满足(ab)。

13、零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，记作a0.由数乘向量的定义可知，a|a|a0或a0.知识点二轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标名称定义轴规定了方向和长度单位的直线叫做轴轴的基向量取单位向量，使其方向与轴同方向，则该单位向量为轴的基向量a在轴l上的坐标如果axe，则x叫做向量a在轴l上的坐标(或数量)(2)轴上向量的坐标运算法则(或公式)文字语言符号语言轴上两个向量相等的法则轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等设ax1e，bx2e，则abx1x2轴上求两个向量的和的法则轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和设ax1e，bx2e，则ab(x1x2)e轴上向量的坐标公式轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标ABx2x1，|AB|x2x1|1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.()提示当b0，a0时，实数不唯一.2.若ba，则a与b共线.(。

14、基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底e1，e2.这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底.(2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得aa1e1a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底e1，e2下的坐标，即a(a1，a2)，其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量.(3)若xe1ye2(x，y)，则的坐标(x，y)点A的坐标(x，y).知识点三平面向量的坐标运算(1)若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab(a1b1，a2b2)，ab(a1b1，a2b2)，a(a1，a2)(a1，a2).即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1).即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。

15、数量积都为 0. 2.空间向量数量积的性质 (1)aba b0. (2)|a|2a a，|a| a a. (3)cosa，b a b |a|b|(a0，b0). 3.空间向量数量积的运算律 (1)(a) b(a b)(R). (2)a bb a(交换律). (3)a (bc)a ba c(分配律). 特别提醒：不满足结合律(a b) ca (b c). 1.对于非零向量 b，由 a bb c，可得 ac.( ) 2.对于向量 a，b，c，有(a b) ca (b c).( ) 3.若非零向量 a，b 为共线且同向的向量，则 a b|a|b|.( ) 4.对任意向量 a，b，满足|a b|a|b|.( ) 题型一 数量积的计。

16、 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，称为向量的数乘 几何 定义 0 a 与向量 a 的方向相同 a 的长度是 a 的长度的|倍 0 a 与向量 a 的方向相反 0 a0，其方向是任意的 运算律 分配律 (ab)ab 结合律 (a)()a 注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论. 空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要 条件是存在唯一一个实数 ，使得 a b. ? 1.若 ab0，则 ab0.( ) 2.设 R，若 ab，则 a 与 b 共线.( ) 3.OA OB AB .( ) 4.直线 l 的方向向量为 a，若 a平面 ，则 l平面 .( ) 题型一 空间向量的加减运算 例 1 如图，已知长方体 ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简 结果的向量. (1)AA CB ； (2)AA 。

17、若 向 量 a的 起 点是 A，终 点 是 B，可 记 作 a，也 可 记 作 AB ，其 模 记 为 |a|或 |AB | )(4)特殊向量单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定向量的方向单位向量有无数个，它们的方向不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向任意，但规定所有的零向量都相等 2空间向量的加减法与运算律空间向量的运算加法 abOB OA AB 减法 abCA OA OC 加法运算律(1)交换律：a bba；(2)结合律：(ab)ca(bc)平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减) 法运算加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变 判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同( )(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量( )(3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移( )(4)空间两非零向量相加时，一定可用。

18、E,例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点.,同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.,问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？,F1+F2=F,力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.,E,O,O,E,例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点.,同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.,问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？,F1+F2=F,F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线,上述事例表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量. 一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.,向 量 加 法,向 量 加 法,向 量 加 法,向 量 加 法,2.它们之们有联系吗?,1.两种方法做出的结果一样吗?,向量加法的定义,b,b,a,a,向 量 加 法,向 量 加 法,三 角 形 法 则:,平行四边形法则:,2.它们之们有联系吗?,1.两种方法做出的结果一样吗?,向量加法的定义,位移的。

19、与 的差 记作 ，即,观察总结：向量加法与减法做法的不同,1.向量减法法则,新授,特例：,方向相同,新授,思考：向量减法是加法运算的逆运算吗？,2. 相反向量:与向量 等长且方向相反的向量叫做 的相反向量，记作 ,新授,A,B,依减法定义得,例1 已知ABCD， ， ，试用向量 和 分别表示向量 和 ,D,C,解：连结 AC、DB，由向量求和的平行四边形法则，有,新授,例2 已知向量 ， ， 与 ，求作向量 ， ,练习,1. 已知向量 、 ，求作向量 ,(1) (2) (3),2.如图，化简：；(3),练习,练习,3. 已知ABCD， ， ，试用向。

20、向量和的运算，叫做向量的加法。
,向量 与向量 的和，记作,设两个向量 (不共线)，如何作出它们的和向量？,A,B,O,作法（1）在平面内任取一点O,这种作法叫做向量加法 的三角形法则,思考:,向量的加法,“首尾顺次连 ,起点指终点”,（2）,练习:求作下列向量的和向量,（1）,向量的加法,(1)同向,A,B,C,(2)反向,A,B,C,向量的加法,拓展思考：对于两个非零向量,2.当_时,1.当_时,3.当_时,4.当_时,向量的加法,探究1向量的加法是否满足交换律:,A,B,D,C,这种作法称向量加法的平行四边法则,向量的加法,思考.,菱形,矩形,探究2,C,B,A,D,推广：多个向量加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行。
,向量加法的结合律:,向量加法的多边形法则：,向量的加法,思考：,例1如图已知O是正六边形ABCDEF的中心，作出下列向。