圆 讲义

1、间的关系； 熟练掌握圆周角定理及其推论； 掌握圆内接四边形、正多边形的性质；掌握圆外接、内切三角形的性质； 掌握圆与直线的位置关系判定及切线的性质与判定； 理解切线长定理并进行弧、扇形等圆的相关计算。
授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 知识概念（一）圆的定义，点与圆的位置关系1、在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。
定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作，读作“圆O”。
2、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点就是圆心，定长就是半径。
3、点在圆内d r； 点在圆上d = r； 点在圆外d r（二）圆心角、弧、弦之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等2、推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等三。

2、有关的简单问题 能综合运用几何知识解 决与圆周角有关的问题 直线与圆的 位置关系 了解直线与圆的位置关系； 了解切线的概念，理解切线 与过切点的半径之间关系； 会过圆上一点画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直 线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问 题 切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题 圆与圆的位 置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题 一、圆的相关概念 1. 圆的定义 （1） 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转 所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径 （2） 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径 （3） 圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O“，读作” 圆O“ （4） 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同 心圆；能够重合的两个圆叫做等圆 注意：注意：同圆或等圆的半径相等 2. 弦和弧 （1） 弦：连结。

3、2圆的标准方程的推导 如图，设圆的圆心坐标为，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r0).设为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为 ，式两边平方，得.3点与圆的位置关系圆C：，其圆心为，半径为，点，设.位置关系与的大小图示点P的坐标的特点点在圆外点在圆上点在圆内二、圆的一般方程1圆的一般方程的定义当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为_，半径_.2圆的一般方程的推导把以为圆心，为半径的圆的标准方程展开，并整理得.取，得： .把的左边配方，并把常数项移到右边，得.当且仅当_时，方程表示圆，且圆心为_，半径长为_；当时，方程只有实数解，所以它表示一个点_；当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。

4、主要讲直线的基本量； 例 2 主要讲解直线方程； 例 3 主要讲解圆的基本量与方程； 第二小节为位置关系，共 4 道例题其中 例 4 主要讲解直线与直线的位置关系； 例 5 主要讲解对称问题； （之后有直线系的选讲知识点与例题，学生版不出现） 例 6 主要讲直线与圆的相离与相切问题； 例 7 主要讲解直线与圆相交与弦长问题； 第三小节为线性规划，共 1 道例题 例 8 主要讲解线性规划的一些问题 注：本讲铺垫学生版出现，可以作为知识点与基本方法的复习；拓 1 到拓 5 学生版不出现，可以 作为一些程度非常好的班级的拓展思考 （2008 北京理 7）过直线yx上的一点作圆 22 512xy的两条切线 12 ll，当直线 真题再现 知识结构图 第 7 讲 直线与圆 69 12 ll，关于yx对称时，它们之间的夹角为（ ） A30 B45 C60 D90 【解析】 C （2010 北京理 7）设不等式组 110 330 5390 xy xy xy 表示的平面区域为D，若指数函数 x ya。

5、2019江苏无锡第一学期期末考】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(m，0)，B(m4，0)，若圆C：上存在点P，使得APB45，则实数m的取值范围是_【举一反三】【2019江苏清江中学调研二】在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为_类型二 以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式典例2【2019江苏如东中学第二次学情测】在平面直角坐标系中，圆与圆相交于两点，若在直线上存在一点，使成立，则的取值范围为_-网来源:Zxxk.Com【举一反三】在平面直角坐标系中，若圆 上存在点，且点关于直线的对称点在圆 上，则的取值范围是_类型三 利用数形结合揭示与刻画直线与圆、圆与圆位置关系典例3【2019苏北三市一模】在平面直角坐标系中，已知圆：与以为圆心的圆相交于，两点，且满足，则实数的值为_来源:【举一反三】在平面直角坐标系中，已知圆，圆，在圆内存在一定点，过的。

6、2019江苏无锡第一学期期末考】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(m，0)，B(m4，0)，若圆C：上存在点P，使得APB45，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】设的外接圆为圆，由于，由正弦定理可知，圆的半径满足，所以圆的半径长为，易知，且圆心在线段的垂直平分线上，可求得点的坐标为或，由于点在圆上，也在圆上，则圆与圆有公共点若的坐标为，则圆的方程为，此时由于圆与圆有公共点，则，即，化简得，解得；若点M的坐标为，则圆的方程为，此时由于圆与圆有公共点，则，即，化简得，解得综上所述，实数的取值范围是，故答案为【名师点睛】求出的外接圆半径和圆心坐标，确定外接圆的方程，将点转化为圆与圆的公共点，利用两圆圆心距与两圆半径之间的关系列不等式求实数的取值范围【举一反三】【2019江苏清江中学调研二】在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为_【答案】类型二 以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式典例2【2019江苏如东中学第二次学情测】在平面直。

7、间的关系； 熟练掌握圆周角定理及其推论； 掌握圆内接四边形、正多边形的性质；掌握圆外接、内切三角形的性质； 掌握圆与直线的位置关系判定及切线的性质与判定； 理解切线长定理并进行弧、扇形等圆的相关计算。
授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 知识概念（一）圆的定义，点与圆的位置关系1、在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。
定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作，读作“圆O”。
2、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点就是圆心，定长就是半径。
3、点在圆内d r； 点在圆上d = r； 点在圆外d r（二）圆心角、弧、弦之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等2、推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等三。

8、间的关系； 熟练掌握圆周角定理及其推论； 掌握圆内接四边形、正多边形的性质；掌握圆外接、内切三角形的性质； 掌握圆与直线的位置关系判定及切线的性质与判定； 理解切线长定理并进行弧、扇形等圆的相关计算。
授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 知识概念（一）圆的定义，点与圆的位置关系1、在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。
定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作，读作“圆O”。
2、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点就是圆心，定长就是半径。
3、点在圆内d r； 点在圆上d = r； 点在圆外d r（二）圆心角、弧、弦之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等2、推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等三。

9、第第 1212 讲讲圆（二）圆（二） 模块一模块一 弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距、圆周角、弦心距之间的关系之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 推论：推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等 总结：总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关。

10、第第 1111 讲讲 圆（一）圆（一） 模块一模块一 圆的基本概念圆的基本概念 定 义 示例剖析 圆：圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周， 另一个端点A所形成的图形叫做圆 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 由圆的定义可知：由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内， 到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上因此，圆是在一个平 面内，所有到一个。

11、间的关系； 熟练掌握圆周角定理及其推论； 掌握圆内接四边形、正多边形的性质；掌握圆外接、内切三角形的性质； 掌握圆与直线的位置关系判定及切线的性质与判定； 理解切线长定理并进行弧、扇形等圆的相关计算。
授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 知识概念（一）圆的定义，点与圆的位置关系1、在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。
定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作，读作“圆O”。
2、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点就是圆心，定长就是半径。
3、点在圆内d r； 点在圆上d = r； 点在圆外d r（二）圆心角、弧、弦之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等2、推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等三。

12、间的关系； 熟练掌握圆周角定理及其推论； 掌握圆内接四边形、正多边形的性质；掌握圆外接、内切三角形的性质； 掌握圆与直线的位置关系判定及切线的性质与判定； 理解切线长定理并进行弧、扇形等圆的相关计算。
授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 知识概念（一）圆的定义，点与圆的位置关系1、在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。
定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作，读作“圆O”。
2、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点就是圆心，定长就是半径。
3、点在圆内d r； 点在圆上d = r； 点在圆外d r（二）圆心角、弧、弦之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等2、推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等三。

13、概念； 掌握点与圆的三种位置关系，及判定条件； 掌握圆的两种对称性； 理解圆的对称性，并掌握圆心角、弧、弦之间关系的定理及推论。
授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一） 圆的定义1、 描述定义在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。
定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作，读作“圆O”。
2、 集合定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点就是圆心，定长就是半径。
（二） 与圆有关的概念1、 圆心（确定圆的位置）；半径（确定圆的大小）；直径；2、 圆弧、优弧、劣弧；3、 圆心角、弦、弦心距、弓形、弓形高；4、 同圆（同一个圆）；等圆（半径相等的圆，圆心在不同位置）；等弧（形状、大小均相等的弧）（三） 点与圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d 1、点。

14、概念； 掌握点与圆的三种位置关系，及判定条件； 掌握圆的两种对称性； 理解圆的对称性，并掌握圆心角、弧、弦之间关系的定理及推论。
授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一） 圆的定义1、 描述定义在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。
定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作，读作“圆O”。
2、 集合定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点就是圆心，定长就是半径。
（二） 与圆有关的概念1、 圆心（确定圆的位置）；半径（确定圆的大小）；直径；2、 圆弧、优弧、劣弧；3、 圆心角、弦、弦心距、弓形、弓形高；4、 同圆（同一个圆）；等圆（半径相等的圆，圆心在不同位置）；等弧（形状、大小均相等的弧）（三） 点与圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d 1、点。

15、概念； 掌握点与圆的三种位置关系，及判定条件； 掌握圆的两种对称性； 理解圆的对称性，并掌握圆心角、弧、弦之间关系的定理及推论。
授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一） 圆的定义1、 描述定义在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。
定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作，读作“圆O”。
2、 集合定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点就是圆心，定长就是半径。
（二） 与圆有关的概念1、 圆心（确定圆的位置）；半径（确定圆的大小）；直径；2、 圆弧、优弧、劣弧；3、 圆心角、弦、弦心距、弓形、弓形高；4、 同圆（同一个圆）；等圆（半径相等的圆，圆心在不同位置）；等弧（形状、大小均相等的弧）（三） 点与圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d 1、点。

16、 第 1 页 / 共 10 页 第第 50 讲：圆与圆的位置关系讲：圆与圆的位置关系 一、课程标准 1、能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 2、能用圆与圆的关系方解决一些简单的数学问题与实际问题. 二、基础知识回顾 圆与圆的位置关系 设圆 O1：(xa1)2(yb1)2r21(r10)， 圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20). 方法 位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r。

17、于点 E，AB6，AD5， 则 AE的长. O E D C BA 【解析】如图，连接 BD、CD， O E D C BA AB 为O的直径， ADB90 BD 22 ABAD 22 6511， 弦 AD 平分BAC， CDBD11， CBDDAB， 在ABD和BED中， BADEBD ADBBDE ABDBED， DE DB DB AD ，即 11 DE 11 5 解得 DE 11 5 AEADDE5 11 5 14 5 . 例题例题 2 如图，在ABC 中，以 AC 边为直径的O交 BC于点 D，过点 B作 BGAC 交O于点 E、H，连 AD、ED、EC若 BD8，DC6，求 CE的长 O H G E D C B A 【解析】AC为O的直径， ADC90， BGAC， BGCADC90， BCDACD, ADCBGC， DC CG AC BC ， CGAC。

18、 第 1 页 / 共 4 页 第第 50 讲：圆与圆的位置关系讲：圆与圆的位置关系 一、课程标准 1、能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 2、能用圆与圆的关系方解决一些简单的数学问题与实际问题. 二、基础知识回顾 圆与圆的位置关系 设圆 O1：(xa1)2(yb1)2r21(r10)， 圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20). 方法 位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r2。

19、d，那么就有 12 dRR两圆相离； 12 dRR两圆相外切； 12 dRR两圆相内切； 1212 RRdRR两圆相交； 12 dRR两圆内含(这里 12 RR) 2. 连心线的性质 连心线是指通过两圆圆心的一条直线连心线是它的对称轴 两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上 如果两圆 1 O 2 O相交于AB两点，那么 12 O O垂直平分AB 如果两个半径不相等的圆 1 O圆 2 O相离，那么内公切线交点外公切线交点都在直线 12 O O上，并且 直线 12 O O上，并且直线 12 O O平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角 如果两条外公切线分别切圆 1 O于AB两点 切圆 2 O于CD两点， 那么两条外公切线长相等， 且AB CD都被 12 O O垂直平分 【例1】 （2011张家界）已知两圆相外切，连心线长度是 10 厘米，其中一圆的半径为 6 厘米，则另一圆 的半径是（ ） A16 厘米 B10 厘米 C6 厘米 D4 厘米 【难度】1 星 【解析】 由两圆。

20、 2 R，且 12 RR， 1 O与 2 O间距离为d，那么就有 12 dRR两圆相离； 12 dRR两圆相外切； 12 dRR两圆相内切； 1212 RRdRR两圆相交； 12 dRR两圆内含(这里 12 RR) 2. 连心线的性质 连心线是指通过两圆圆心的一条直线连心线是它的对称轴 两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上 如果两圆 1 O 2 O相交于AB两点，那么 12 O O垂直平分AB 如果两个半径不相等的圆 1 O圆 2 O相离，那么内公切线交点外公切线交点都在直线 12 O O上，并且 直线 12 O O上，并且直线 12 O O平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角 如果两条外公切线分别切圆 1 O于AB两点 切圆 2 O于CD两点， 那么两条外公切线长相等， 且AB CD都被 12 O O垂直平分 【例1】 （2011张家界）已知两圆相外切，连心线长度是 10 厘米，其中一圆的半径为 6 厘米，则另一圆 的半径是（ ） A16 厘米 B10 厘米 C6 。