圆综合复习

1、2022年北京各校九年级数学中考复习训练：圆综合一圆中特殊角共20小题1如图，在中，以为直径的半圆交于点，是该半圆所在圆的圆心，为线段上一点，且1求证：是的切线；2若，求的半径2如图，是的直径，为上两点，于点，交的延长线于点，且1求证：是的。

2、ADDC，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形；（2）作直径AE，连接DE，如图，四边形ABCD是菱形ADAB6，AE为直径，ADE90，EAFD，sinEsinAFD，在RtADE中，sinE，AEAD615，OA，即O的半径为2如图1，ABC是等腰三角形，O是底边BC中点，腰AB与O相切于点D（1）求证：AC是O的切线；（2）如图2，连接CD，若tanBCD，O的半径为，求BC的长（1）证明：连接OD，OA，作OFAC于F，如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，AOBC，AO平分BAC，AB与O相切于点D，ODAB，而OFAC，OFOD，AC是O的切线；（2）过D作DFBC于F，连接OD，tanBCD，设DFa，OFx，则CF4a，OC4ax，O是底边BC中点，OBOC4a。

3、OBOC，BBCO，ACOB90.ECDB，ECDACO90，即OCE90，CE是O的切线(2)解：OA3，AC2，BCA90，AB6，cosA.又ODAB，cosA，AD9，CDADAC7.2如图，A，B，C是O上的点，BD为O的切线，连接AC并延长交BD于点D，连接AB，BC，过点C作CEBD于点E，且CBE45.(1)求证：CE是O的切线；(2)若O的半径为1，求阴影部分的面积第2题图(1)证明：如答图，连接OB，OC.第2题答图BD为O的切线，OBBD，OBE90.CBE45，OBC45.OBOC，OBCOCB45.CBE45，CEB90，BCE45，OCEOCBBCE90
。

4、AOBCOD2(BCACBD)180.(2)解：如答图，延长BO交O于点F，连接AF，第1题答图则AOBAOF180.由(1)得AOBCOD180，AOFCOD，AFCD6.BF为O的直径，BAF90，在RtABF中，BF10，O的直径为10.2如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交BC，AC于点D，E，连接BE交OD于点F.第2题图(1)求证：ODBE；(2)连接DE，若DE2，AB5，求AE的长(1)证明：如答图，连接AD.第2题答图AB为O的直径，ADBADC90，ADBC.ABAC，AD平分BAC，CADBAD，ODBE.(2)解：AB是O的直径，BECAEBADB90，由(1)知，BDDE2.ADBC，ABAC，BC2。

5、176;，结论即可得证；(2)先求出AOC60，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论【自主解答】1(2019龙岩武平一模)如图，ABC中，ABAC，以AB为直径的O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DFAC于点F.(1)试说明DF是O的切线；(2)若AC3AE，求tan C.2(2019莆田模拟)如图，在ABC中，BCA90，以BC为直径的O交AB于点P，Q是AC的中点，连接QP并延长交CB的延长线于点D.(1)判断直线PQ与O的位置关系，并说明理由；(2)若AP4，tan A.求O的半径的长；求PD的长3(2019福建大联考)已知，AB是O的直径，点C在O上，点P是AB延长线上一点，连接CP.(1)如图1，若PCBA.求证：直线PC是O的切线；若CPCA，OA2，求CP的长；(2)如图2，若点M是的中点，CM交。

6、与所在圆的位置关系；(3)若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值【分析】(1)由弧长公式可得AOP90，从而在RtPOQ中利用锐角三角函数确定OQ的长，即可得到x；(2)确定x的最小值即点Q在x轴负半轴，且距离点O最远，从而得到当PQ与相切时x最小，即可得解；(3)过点P作数轴的垂线，然后再用勾股定理求OQ的长，注意分三种情况讨论【自主解答】1(2019保定一模)如图，OA4，C是射线OA上一点，以O为圆心，OA的长为半径作，使得AOB152，P是上一点，OP与AB相交于点D，点P与P关于直线OA对称，连接CP.尝试(1)点P在所在的圆 (填“内”“上”或“外”)；(2)AB 发现(1)PD的最大值为 ；(2)当的长为2，OCP28时，判断CP与所在圆的位置关系探究：当点P与AB的距离最大时，求AP的长(注：sin 76cos 14)2(20。

7、1)由ABAC知ABCACB，结合ACBBCD，ABCADC得BCDADC，从而得证；(2)连接OA，由CAFCFA知ACDCAFCFA2CAF，结合ACBBCD得ACD2ACB，CAFACB，据此可知AFBC，从而得OAAF，得到证；(3)证ABECBA得AB2BCBE，据此知AB5，连接AG，得BAGBADDAG，BGAGACACB，由点G为内心知DAGGAC，结合BADDAGGACACB得BAGBGA，从而得出BG.【自主解答】 1(2019中山模拟)如图，AB是O的直径，C，G是O上两点，且C是的中点，过点C的直线CDBG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.(1)求证：CD是O的切线；(2)若，求证：AEAO；(3)连接AD，在(2)的条件下，若CD2，求AD的长2(2019广东模拟)如图，在R。

8、9.5 锥曲线综合问题锥曲线综合问题 典例精析典例精析 题型一 求轨迹方程 例 1已知抛物线的方程为 x22y，F 是抛物线的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线交于 AB 两点，分别过点 AB 作抛物线的两条切线 l1 和 l2，记 l1。

9、只需连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：“有切点，连半径，证垂直”“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90的角； (2)直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：“无切点，作垂直，证半径”证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等,3,2圆中求角度或证明角相等的几种思路 (1)利用切线的性质，构造直角三角形，由两锐角和等于90进行角度转化求解； (2)利用圆周角定理及其推论，通过圆中相等的角代换可得角的大小； (3)利用圆周角定理的推论、勾股定理等得到一组平行线，通过圆中相等的角代换可得角的大小 3求线段长度的几种思路 (1)当解决有关切线的问题时，一定会存在直角三角形，故运用勾股定理是求长度最常用的方法，另外注意，直径所对的圆周角是直角也是构造直角三角形的常用方法；,4,(2)利用直角三角形的边角关系求解：在圆的综合题中，当含有直角三角形或已知条件为三角函数值时，常利用直角三角形的边角关系求出相关线段长，有时需运用同弧所对圆周角相等进。

10、有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作O，线段OA叫做半径；圆是到定点的距离等于定长的点的集合要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小2.与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦 直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是O的直径，直径是圆中最长的弦弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是O中的弧，分别记作， 半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如是半圆 劣弧：像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧 优弧：像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧 同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合。

11、t;5 Br5 Cr5 Dr53已知直线l经过O上的A，B两点，则直线l与O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D无法确定4如图，AB为O的直径，C为O外一点，过点C作O的切线，切点为B，连结AC交O于点D，C38.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与点A，B重合)，则AED的大小是()A19 B38 C52 D765如图，PA，PB是O的切线，切点分别是点A，B，如果P60，那么AOB等于()A60 B90 C120 D1506等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、高线长之比为()A1 B12C12 D1237如图2，O为ABC的内切圆，C90，AO的延长线交BC于点D，AC4，CD1，则O的半径等于()A. B. 。

12、梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作O，线段OA叫做半径；圆是到定点的距离等于定长的点的集合要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小2.与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦 直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是O的直径，直径是圆中最长的弦弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是O中的弧，分别记作， 半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如是半圆 劣弧：像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧 优弧：像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧 同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆 等弧：在同圆。

13、实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用 于生活 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、圆的有关概念圆的有关概念 1. 1. 圆的定义圆的定义 如图所示，有两种定义方式： 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形 叫做圆固定的端点 O 叫做圆心，以 O 为圆心的圆记作O，线段 OA 叫做半径； 圆是到定点的距离等于定长的点的集合 要点诠释：要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 第 2 页 共 17 页 2.2.与圆有关的概念与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段 AB，BC，AC 都是弦 直径：经过圆心的弦叫做直径，如 AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线 BC、BAC 都是O 中的弧，分别记作BC， BAC 半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆 劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧 优弧：像BAC这样大于半圆周的圆。

14、 2如图，O 的直径 AB 长为 10，弦 AC 长为 6，ACB 的平分线交O 于 D，则 CD 长为( ) A7 B7 2 C8 2 D9 第 1 题 第 2 题 第 3 题 3如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，且 AB6cm，OD4cm，则 DC 的长为( ) A5 cm B2.5 cm C2 cm D1 cm 4已知：O 的半径为 13cm，弦 ABCD，AB24cm，CD10cm，则 AB，CD 之间的距离为( ) A17cm B7cm C12cm D17cm 或 7cm 5 （2015西藏）已知O1与O2相交，且两圆的半径分别为 2cm 和 3cm，则圆心距 O1O2可能是（ ） A1cm B3cm C5cm D7cm 6一个圆锥的侧面展开图是半径为 1 的半圆，则该圆锥的底面半径是( ) A1 B 3 4 C 1 2 D 1 3 二、填空题二、填空题 7在O 中直径为 4，弦 AB2 3，点 C 是圆上不同于。

15、际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用 于生活 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、圆的有关概念点一、圆的有关概念 1. 1. 圆的定义圆的定义 如图所示，有两种定义方式： 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形 叫做圆固定的端点 O 叫做圆心，以 O 为圆心的圆记作O，线段 OA 叫做半径； 圆是到定点的距离等于定长的点的集合 要点诠释：要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 第 2 页 共 19 页 2.2.与圆有关的概念与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段 AB，BC，AC 都是弦 直径：经过圆心的弦叫做直径，如 AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线 BC、BAC 都是O 中的弧，分别记作BC， BAC 半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆 劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧 优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧。

16、AB1，BC2，则 OA( ) A1 3 2 B2 C 32 3 D1 5 2 3如图，在 RtABC 中，C90，B30，BC4 cm，以点 C 为圆心，以 2 cm 的长为半径作圆， 则C 与 AB 的位置关系是( ) A相离 B相切 C相交 D相切或相交 第 2 题 第 3 题 第 5 题 4已知圆 O1、圆 O2的半径不相等，圆 O1的半径长为 3，若圆 O2上的点 A 满足 AO13，则圆 O1与圆 O2的 位置关系是( ) A相交或相切 B相切或相离 C相交或内含 D相切或内含 5如图所示，在圆 O 内有折线 OABC，其中 OA8，AB2，AB60，则 BC 的长为( ) A19 B16 C18 D20 6如图，MN 是半径为 0.5 的O 的直径，点 A 在O 上，AMN30，B 为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小。

17、B90，AC3，BC4，以 C 为圆心，r 为半径的圆与边 AB 有公共点，则 r 的取值范围为( )Ar Br3 或 r4 C. r3 D. r4125 125 1253如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB， CDB 30，CD2 ，则 S 阴3影 ( )A B2 C. D. 233 234如图，线段 OA 交 O 于点 B，且 OBAB，点 P 是O 上的一个动点，那么OAP 的最大值是( )A90 B60 C45 D305在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为 1，高为 2 ，则这个圆锥的侧面积是 ( )2A4 B3 C2 D226如图，AB，AC 是O 的两条弦，BAC25，过点 C 的切线与 OB 的延长线交于点 D，则D 的度数为( )A25&。

18、知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作O，线段OA叫做半径；圆是到定点的距离等于定长的点的集合要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小2.与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦 直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是O的直径，直径是圆中最长的弦弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是O中的弧，分别记作， 半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如是半圆 劣弧：像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧 优弧：像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧 同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

19、在RtABC中，C90，B30，BC4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则C与AB的位置关系是( )A相离 B相切 C相交 D相切或相交 第2题 第3题 第5题4已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO13，则圆O1与圆O2的位置关系是( )A相交或相切 B相切或相离 C相交或内含 D相切或内含5如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA8，AB2，AB60，则BC的长为( ) A19 B16 C18 D206如图，MN是半径为0.5的O的直径，点A在O上，AMN30，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为( ) 。