专题1.1 初识极值点偏移高考数学解答题压轴题突破讲义原卷版

1、前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若的极值点为，则根据对称性构造一元差函数，巧借的单调性以及，借助于与 ，比较与的大小，即比较与的大小有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。#网本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解例. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，证明：当时，；（3）若函数的图象与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.法二：构造以为。

2、近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之间的不等关系. 要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系. 这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究.（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数有两个零点.证明：.法二：参变分离再构造差量函数由已知得：，不难发现，故可整理得：设。

3、专题03：极值点偏移第一招不含参数的极值点偏移问题函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.例.（2010天津理）已知函数 ，如果，且.证明：例.（2013湖南文）已知函数，证明：当时，来源:学科网ZXXK招式演练：已知函数，正实数满足.来源:学.科.网来源:学科网证明：.来源:学科网来源:学+科+网来源:学科网ZXXK已知函数来源:学。

4、专题06：极值点偏移第四招含指数式的极值点偏移问题近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之间的不等关系. 要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系. 这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究.（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数有两个零点.证明：.来源:学科网ZXXK。

5、专题05：极值点偏移第三招含对数式的极值点偏移问题前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若的极值点为，则根据对称性构造一元差函数，巧借的单调性以及，借助于与 ，比较与的大小，即比较与的大小有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解例. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，证明：当时，；（3）若函数的图象与轴交于两。

6、专题04：极值点偏移第二招含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.例1. 已知函数有两个不同的零点，求证：.来源:Zxxk.Com例2. 已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：来源:学科网ZXXK例3.已知是函数的两个零点，且.（1）求证：；（2）求证：. 来源:学科网例4.已知函数，若存在，使，求证：.来源:学,科,网Z,X,X,K【招式演练】设函数的图像与轴交于两。

7、专题07：极值点偏移第五招函数的选取于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数. 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数.已知函数有两个不同的零点，其极值点为（1）求的取值范围；（2）求证：；（3）求证：；（4）求证：【思考】练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1）应该用哪个函数来做呢？练习2 ：（安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知（1）求的单调区间；（2）设, ，为函数的两个零点，求证.【招式演练】已知函数有两个零点。

8、值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法.已知，若有两个极值点，且，求证：（为自然对数的底数）解法一：齐次构造通解偏移套路于是又，设，则因此，要证，即证：，即：当时，有设函数，则，所以，为上的增函数注意到，因此，学&于是，当时，有所以，有成立，学&解法二 变换函数能妙解证法2：欲证，需证若有两个极值点，即函数有两个零点又，所以，是方程的两个不同实根显。

9、一、极值点偏移的判定定理对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；#网（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）二、运用判定定理判定极值点。

10、值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法.已知，若有两个极值点，且，求证：（为自然对数的底数）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，求证：.【招式演练】已知函数有两个不同的零点来源:Zxxk.Com求的最值；证明： 已知函数， 为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明： （为函数的导函数）来源:Z|xx|k.Com已。

11、专题02：极值点偏移问题利器极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；来源:学&科&网Z&X&X&K（2）证明略.左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）左快右慢（。

12、专题03：极值点偏移第一招不含参数的极值点偏移问题函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.例.（2010天津理）已知函数 ，如果，且.证明：例.（2013湖南文）已知函数，证明：当时，来源:ZXXK招式演练：已知函数，正实数满足.来源:来源:证明：.来源:来源:来源:ZXXK已知函数来源:Z*X*X*K（）求函数的单调区间；（）若方程 有。

13、专题05：极值点偏移第三招含对数式的极值点偏移问题前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若的极值点为，则根据对称性构造一元差函数，巧借的单调性以及，借助于与 ，比较与的大小，即比较与的大小有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解例. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，证明：当时，；（3）若函数的图象与轴交于两。

14、专题06：极值点偏移第四招含指数式的极值点偏移问题近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之间的不等关系. 要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系. 这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究.（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数有两个零点.证明：.来源:ZXXK来源:Z*。

15、专题04：极值点偏移第二招含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.例1. 已知函数有两个不同的零点，求证：.来源:Zxxk.Com例2. 已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：来源:ZXXK例3.已知是函数的两个零点，且.（1）求证：；（2）求证：. 来源:例4.已知函数，若存在，使，求证：.来源:Z,X,X,K【招式演练】设函数的图像与轴交于两点，（1）证明：；（2。

16、值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法.已知，若有两个极值点，且，求证：（为自然对数的底数）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，求证：.【招式演练】已知函数有两个不同的零点来源:Zxxk.Com求的最值；证明： 已知函数， 为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明： （为函数的导函数）来源:Z|xx|k.Com已。

17、专题02：极值点偏移问题利器极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；来源:Z&X&X&K（2）证明略.左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）左快右慢（极值点左。

18、一、极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：学科*网若，则称为极值点左偏；若，则称为极。

19、一、极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：*网若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点。

20、专题01：初识极值点偏移一、极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：来源:学科网ZXXK若，。