著名机构初中数学三角形

1、所示，把ABC 沿直线 BC 移动线段 BC 那样长的距离可以变到ECD 的位置； 如图（2）所示，以 BC 为轴把ABC 翻折 180，可以变到DBC 的位置； 如图（3）所示，以点 A 为中心，把ABC 旋转 180，可以变到AED 的位置，像这样，只改变图形 的位置， 而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对 应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换， 问题：如图（4） ，ABCDEF，B 和 E、C 和 F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重 合，并指出它们相等的边和角 A B C D E （1） A B C D （2） A BC DE （3） A B C （4） D E F 【例 2】如图：A、E、F、C 四点在同一条直线上，AE=CF，过 E、F 分别作 BEAC、 DFAC，且 AB=CD，ABCD试说明：BD 平分 EF A B C D E F G 【例 3】在正 ABC 中，P 为 ABC 内一点，将 ABP 绕 A 点按逆时针方向旋。

2、该三角形的顶角. ABAC，BC 等腰三角形的性质： （1）两底角相等（等边对等角） （2） “三线合一” ，即顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互重合 （3） 是轴对称图形，底边的垂直平分线 是它的对称轴 ABC是等腰三角形，ABAC 若ADBC，则BDCD， BADCAD ； 若BDCD，则BADCAD ， ADBC； 若BADCAD ，则ADBC，BDCD. 等腰三角形的判定方法： 有两条边相等的三角形是等腰三角形 有两个角相等的三角形是等腰三角形 （等角对等边） 若ABAC或BC，则ABC是等腰三角形. 易错点：注意分类讨论，并舍去不符合条件的情况 【例 1】如图所示，在ABC 中，AB=AC，试说明B=C 的理由. 【答案】作 BC 边上中线 AD,则 BD=CD. CB A D CB A CB A D A CB C B A D C D A B 在ABD 与ACD 中， ABAC ADAD BDCD ABDACD， BC 【例 2。

3、孔教研院彭高钢知识模块：知识模块：等腰三角形的性质等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”) （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称 “等腰三 角 形的三线合一”. （3）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线为对称轴. （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识模块知识模块：等腰三角形的等腰三角形的判定判定 1. 在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义) 2. 在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边 【例1】 下列说法，正确的有（ ） 等腰三角形的两腰相等； 等腰三角形的两底角相等； 等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等； 等腰三角形是轴对称图形 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【答案】D 【例2】 已知等腰三角形的一个角等于 42 ，则它的底角为（ ） A、42 B、69 C、69 或 84。

4、176; 等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60的等腰三角形是等边三 角形 若ABACBC，则ABC是等边三角形 若ABC ，则ABC是等边三角形 若60ABACA ，（或60B，或60C） ， 则ABC是等边三角形 【例 1】（1）等腰三角形的一个外角等于 120，则它是 三角形； （2）等边三角形是轴对称图形，它有_条对称轴，分别是_ 【答案】（1）等边三角形；（2）三，三边的垂直平分线 【例 2】（1）已知 AD 是等边ABC 的高，BE 是 AC 边的中线，AD 与 BE 交于点 F， 则AFE=_； （2）ABC 是等边三角形，ADBC，CDAD，则ACD = 【答案】（1）60；（2）30 【例 3】已知ABC 是等边三角形，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上，BD 与 CE 相交于点 F， BC A BC A BC。

5、 如图，ABC是等腰三角形，ABAC 则AB、AC是该三角形的腰. BC是该三角形的底边. B、C是该三角形的底角， 且BC . A是该三角形的顶角. ABAC，BC 等腰三角形的性质： （1）两底角相等（等边对等角） （2） “三线合一” ，即顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互重合 （3） 是轴对称图形，底边的垂直平分线 是它的对称轴 ABC是等腰三角形，ABAC 若ADBC，则BDCD， BADCAD ； 若BDCD，则BADCAD ， ADBC； 若BADCAD ，则ADBC，BDCD. 等腰三角形的判定方法： 有两条边相等的三角形是等腰三角形 有两个角相等的三角形是等腰三角形 （等角对等边） 若ABAC或BC，则ABC是等腰三角形. 易错点：注意分类讨论，并舍去不符合条件的情况 【例 1】（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 50，则顶角的度数是_； （2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 50，则顶角的度数是_。

6、该三角形的顶角. ABAC，BC 等腰三角形的性质： （1）两底角相等（等边对等角） （2） “三线合一” ，即顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互重合 （3） 是轴对称图形，底边的垂直平分线 是它的对称轴 ABC是等腰三角形，ABAC 若ADBC，则BDCD， BADCAD ； 若BDCD，则BADCAD ， ADBC； 若BADCAD ，则ADBC，BDCD. 等腰三角形的判定方法： 有两条边相等的三角形是等腰三角形 有两个角相等的三角形是等腰三角形 （等角对等边） 若ABAC或BC，则ABC是等腰三角形. 易错点：注意分类讨论，并舍去不符合条件的情况 【例 1】如图所示，在ABC 中，AB=AC，试说明B=C 的理由. CB A D CB A CB A D A CB C B A D C D A B 【例 2】如图所示，在ABC 中，AB=AC，BD 平分ABC.若ADB=108，求A 的度数. 【例 3】如图所示，在ABC 中，B=C，试说明 AB=AC 的理。

7、全等的判定 （1）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简 称“H.L”定理） （2）判定两个直角三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二知识点二 2、直角三角形的性质： （1）定理 1：直角三角形的两个锐角互余； （2）定理 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 推论 1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2： 在直角三角形中， 如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角等于30 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、一、直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 1-1 例 1：如图，已知 BC AB，AD=DC，BD 平分BAC，求证：A+C=180 证法一：如图 1，在边 BC 上取点 E，使得 BE=BA，联结 DE BD 平分ABC 1=2 在ABD。

8、孔教研院彭高钢知识模块：知识模块：等腰三角形的性质等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”) （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称 “等腰三 角 形的三线合一”. （3）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线为对称轴. （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识模块知识模块：等腰三角形的等腰三角形的判定判定 1. 在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义) 2. 在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边 【例1】 下列说法，正确的有（ ） 等腰三角形的两腰相等； 等腰三角形的两底角相等； 等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等； 等腰三角形是轴对称图形 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【例2】 已知等腰三角形的一个角等于 42 ，则它的底角为（ ） A、42 B、69 C、69 或 84 D、42&。

9、1）两底角相等（等边对等角） （2） “三线合一” ，即顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互重合 （3） 是轴对称图形，底边的垂直平分线 是它的对称轴 ABC是等腰三角形，ABAC 若ADBC，则BDCD， BADCAD ； 若BDCD，则BADCAD ， ADBC； 若BADCAD ，则ADBC，BDCD. 等腰三角形的判定方法： 有两条边相等的三角形是等腰三角形 有两个角相等的三角形是等腰三角形 （等角对等边） 若ABAC或BC，则ABC是等腰三角形. 易错点：注意分类讨论，并舍去不符合条件的情况 【例 1】（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 50，则顶角的度数是_； （2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 50，则顶角的度数是_ CB A D CB A CB A 【例 2】已知：AB=AC，AD=DE=BE，BD=BC，那么A 的度数为_ 【例 3】如图，AC=BC，DF=DB，AE=AD，求A 的度数 【例 4】A。

10、BAC的两边截取ABAC，又截取ADAE，连CD、BE交于F。
试说明：AF平分BAC。
【答案】联结BC，证明ABEACD（SAS） ，得到B=C 由ABAC得到ABC=ACB，所以得到FBC=FCB，即FC=FB 所以ABFACF（SAS） 所以CAF=BAF 2 2、平移型全等三角形平移型全等三角形 把把ABCABC沿着某一条直线沿着某一条直线L L平行移动，所得平行移动，所得DEFDEF与与ABCABC称为平移型全等三角形。
有时这条直线就是称为平移型全等三角形。
有时这条直线就是 ABCABC的某一条边所在直线。
下图是常见的平移型全等三角形。
的某一条边所在直线。
下图是常见的平移型全等三角形。
【例 2】如图，在ABC和DEF中，点B、E、C、F在同一直线上，请你从以下 4 个等式中选出 3 个作 为已知条件，余下的 1 个作为结论，并说明结论正确的理由 E D O E D E C D A B B B A A B C A C C D B C AD FE B A F E D C F D C A B E B C AD F。

11、角 3、三角形具有稳定性 知识模块：全等三角形知识模块：全等三角形 1、 全等三角形的性质： （1）对应边相等； （2）对应角相等； 2、全等三角形的判定 SAS: 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 AAS：两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等 SSS：三边对应相等的两个三角形全等 知识模块：知识模块：特殊三角形特殊三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等边对等角 （2）三线合一 2、等边三角形的性质 （1）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个内角等于 60的等腰三角形是等边三角形. 【例 1】对于ABC，下列命题中不正确的是（ ） A如果B+C=A，那么ABC 是直角三角形 B如果B+CA，那么ABC 是锐角三角形 C如果B+CA，那么ABC 是钝角三角形 DA=B=C，那么ABC 是等边三角形 【答案】B 【例 2】三角形两边长分别为 6 厘米和 10 厘米，第三边不可能是（ ） A4 厘米 B7 厘米 C8 厘米 D11。

12、176; 等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60的等腰三角形是等边三 角形 若ABACBC，则ABC是等边三角形 若ABC ，则ABC是等边三角形 若60ABACA ，（或60B，或60C） ， 则ABC是等边三角形 【例 1】（1）等腰三角形的一个外角等于 120，则它是 三角形； （2）等边三角形是轴对称图形，它有_条对称轴，分别是_ 【例 2】（1）已知 AD 是等边ABC 的高，BE 是 AC 边的中线，AD 与 BE 交于点 F， 则AFE=_； （2）ABC 是等边三角形，ADBC，CDAD，则ACD = 【例 3】已知ABC 是等边三角形，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上，BD 与 CE 相交于点 F， BC A BC A BC A A C D B F E 且 BF=CF，说明ADE 是等边三角形 【例 4】如图所示。

13、角 3、三角形具有稳定性 知识模块：全等三角形知识模块：全等三角形 1、 全等三角形的性质： （1）对应边相等； （2）对应角相等； 2、全等三角形的判定 SAS: 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 AAS：两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等 SSS：三边对应相等的两个三角形全等 知识模块：知识模块：特殊三角形特殊三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等边对等角 （2）三线合一 2、等边三角形的性质 （1）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个内角等于 60的等腰三角形是等边三角形. 【例 1】对于ABC，下列命题中不正确的是（ ） A如果B+C=A，那么ABC 是直角三角形 B如果B+CA，那么ABC 是锐角三角形 C如果B+CA，那么ABC 是钝角三角形 DA=B=C，那么ABC 是等边三角形 【例 2】三角形两边长分别为 6 厘米和 10 厘米，第三边不可能是（ ） A4 厘米 B7 厘米 C8 厘米 D11 厘米 【例。

14、全等的判定 （1）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简 称“H.L”定理） （2）判定两个直角三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二知识点二 2、直角三角形的性质： （1）定理 1：直角三角形的两个锐角互余； （2）定理 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 推论 1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2： 在直角三角形中， 如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角等于30 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、一、直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 1-1 例 1：如图，已知 BC AB，AD=DC，BD 平分BAC，求证：A+C=180 二、二、直角三角形的性质直角三角形的性质 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 2-1 如图，在锐角AB。

15、于这条直线对 三角形综合复习 尚孔教育个性化辅导教案 尚孔教育个性化辅导 教学设计方案 第2页 尚孔教育培养孩子终生学习力 E F B A D C 称，下图是常见的轴对称型全等三角形。
【例 1】 如图，在BAC的两边截取ABAC，又截取ADAE，连CD、BE交于F。
试说明：AF平分BAC。
2 2、平移型全等三角形平移型全等三角形 把把ABCABC沿着某一条直线沿着某一条直线L L平行移动，所得平行移动，所得DEFDEF与与ABCABC称为平移型全等三角形。
有时这条直线就是称为平移型全等三角形。
有时这条直线就是 ABCABC的某一条边所在直线。
下图是常见的平移型全等三角形。
的某一条边所在直线。
下图是常见的平移型全等三角形。
E D O E D E C D A B B B A A B C A C C D B C AD FE B A F E D C 尚孔教育个性化辅导教案 尚孔教育个性化辅导 教学设计方案 尚孔教育培养孩子终生学习力 第3页 F D C A B E B C AD F E 【例 2】如图，在ABC和DE。

16、运用直角三 角形的性质解决有 关问题 锐角三角函数锐角三角函数 了解锐角三角函数（正弦、余弦、 正切、余切），知道特殊角的三 角函数值 由某个角的一个三角函数值，会 求这个角其余两个三角函数值； 会求含有特殊角的三角函数值的 计算 能用三角函数解决 与直角三角形有关 的简单问题 模块一、勾股定理 1勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是 a、b，斜边为 c，那么 a2b2c2即直角三 角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾最短的边、股较长的直角边、 弦斜边。
C A B 图2 c b a 2勾股定理的证明： （1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： 知识点睛 中考要求 解直角三角形 2 2 222 1 4 2 . ABCD Sabcab abc 正方形 D CB A （2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： 2 2 222 1 4 2 . Scabab abc 正方形EFGH G F E H （3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： 2。

17、点 到旋转中心的距离相等、 对应 点与旋转中心连线所成的角 彼此相等的性质； 会识别中心 对称图形 能按要求作出简单平面图形旋转后的 图形，能依据旋转前、后的图形，指 出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识 解决简单问题； 平移 了解图形平移， 理解平移中对 应点连线平行 （或在同一条直 线上）且相等的性质 能按要求作出简单平面图形平移后的 图形；能依据平移前后的图形，指出 平移的方向和距离 能运用平移的知识 解决简单的计算问 题； 等腰三角形 了解等腰三角形、 等边三角形 的概念，会识别这二种图形， 并理解这二种图形的性质和 判定 能用等腰三角形、等边三角形的性质 和判定解决简单问题 能用等腰三角形、 等边三角形的知识 解决有关问题 1 轴对称及等腰三角形性质的综合应用 2 全等三角形与轴对称、旋转、平移变换的综合应用 版块一 轴对称 垂直平分线类垂直平分线类 例题精讲 中考要求 重难点 轴对称与等腰三角形 垂直平分线： “垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等” ，主要是转化线段之间的关系，尤其是在轴对 称有关作图中，应用更为广泛 【例1】 如图ABC中，AD平分BAC。

18、合应用 版块一 轴对称与轴对称图形 轴对称图形的识别轴对称图形的识别 【例1】 如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称. 例题精讲 中考要求 重难点 轴对称与等腰三角形 【巩固】通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形 轴对称和折叠轴对称和折叠 【例2】 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是 【巩固】将一个正方形纸片依次按图 1a，b 的方式对折，然后沿图 c 中的虚线裁剪，成图 d 样式，将纸展 开铺平，所得到的图形是图 2 中的（ ） 图 1 图 2 版块二 垂直平分线的性质及判定 垂直平分线的性质垂直平分线的性质 【例3】 如图所示，在ABC 中，BAC=106 ，EF、MN 分别是 AB、AC 的垂直平分线，点 E、M 在 BC 上，则EAM= N M F ECB A 垂直平分线的垂直平分线的判定判定 【例4】 已知：如图，ABC 中，ACB=90 ，D 是 BC 延长线上一点。

19、点 到旋转中心的距离相等、 对应 点与旋转中心连线所成的角 彼此相等的性质； 会识别中心 对称图形 能按要求作出简单平面图形旋转后的 图形，能依据旋转前、后的图形，指 出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识 解决简单问题； 平移 了解图形平移， 理解平移中对 应点连线平行 （或在同一条直 线上）且相等的性质 能按要求作出简单平面图形平移后的 图形；能依据平移前后的图形，指出 平移的方向和距离 能运用平移的知识 解决简单的计算问 题； 等腰三角形 了解等腰三角形、 等边三角形 的概念，会识别这二种图形， 并理解这二种图形的性质和 判定 能用等腰三角形、等边三角形的性质 和判定解决简单问题 能用等腰三角形、 等边三角形的知识 解决有关问题 1 轴对称及等腰三角形性质的综合应用 2 全等三角形与轴对称、旋转、平移变换的综合应用 版块一 轴对称 垂直平分线类垂直平分线类 例题精讲 中考要求 重难点 轴对称与等腰三角形 垂直平分线： “垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等” ，主要是转化线段之间的关系，尤其是在轴对 称有关作图中，应用更为广泛 【例1】 如图ABC中，AD平分BAC。

20、 等腰三角形直角、 三角形 了解等腰三角形、 等边三角形 和直角三角形的概念， 会识别 这三种图形， 并理解这三种图 形的性质和判定 能用等腰三角形、等边三角形和直角 三角形的性质和判定解决简单问题 能用等腰三角形、 等边三角形和直角 三角形的知识解决 有关问题 全等三角形 了解全等三角形的概念， 了解 相似三角形和全等三角形之 间的关系 掌握两个三角形全等的条件和性质； 会应用三角形全等的性质和判定解决 有关问题 会利用全等三角形 的知识解释或证明 经过图形变换后得 到 的图形与原图形对 应元素间的关系 一、三角形的基本概念： 三角形的定义三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形 三角形具有稳定性 三角形的内角三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角 在同一个三角形内，大边对大角 三角形的外角三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角 三角形的分类三角形的分类： () () (): 直角三角形:三角形中有一个角是直角 三。