著名机构数学讲义

1、一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做 旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点如图 R R Q P Q P O 注意：研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角 每一组对应点所构成的旋转角相等 【例1】 在平面内， 把一个图形绕着某_沿着某个方向转动_的图形变换叫做旋转这个点 O 叫 做_，转动的角叫做_因此，图形的旋转是由_和_决定的 【巩固】下图中，不是旋转对称图形的是( ) 中考要求 例题精讲 中考复习：几何变换之旋转 【例2】 有下列四个说法，其中正确说法的个数是( ) 图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心； 图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度； 图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等； 图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【巩固】如图，把菱形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转得到菱。

2、代数式； 2单项式； 3多项式及整式的有关概念； 4整式的加减运算； 知识精要知识精要 一、基本概念一、基本概念 1代数式代数式 用基本的运算符号(指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方)把数或表示数的 字母连接而成的式子叫做代数式 2单项式单项式 表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式 （包含单个的数字、单个的字母、数 字与字母的乘积、几个字母的乘积等形式 ） 注：(1)单独的一个数或一个字母也是单项式 (2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 (3)一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数 3多项式多项式 2 几个单项式的和叫做多项式，即多项式由单项式组合而成的 注： （1）多项式中的每个单项式就是一个项 （2）多项式中有几个单项式就有几项 （3）多项式中次数最高的单项式的次数就是多项式的次数 （4）多项式中不含字母的项叫做常数项 4整式整式 单项式和多项式统称整式 补充：分母含有字母的代数式叫做分式 5同类项同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同 类项 二、基本运算法则二。

3、距离解决有关问 题 直线、射线、线段的概念：直线、射线、线段的概念： 在直线的基础上定义射线、线段： 直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点 直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点 在线段的基础上定义直线、射线： 把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线， 把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线 点与直线的关系：点与直线的关系：点在直线上；点在直线外 两个重要公理：两个重要公理： 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线” 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短” 两点之间的距离：两点之间的距离：两点确定的线段的长度 点的表示方法：点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：A，B，C，D， 直线的表示方法：直线的表示方法： 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线 AB，如下图 也可以写作直线 BA (1) (2) lAB 用一个小写字母来表示，如直线l，如上图 注意：注意：在直线的表示前面必须。

4、教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点一：证明的相关概念知识点一：证明的相关概念 1.证明证明 演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某 结论为正确的过程，在我们沪教版教材中，演绎证明又简称为“证明（proof） ”. （此外还有“实践证明” 、 “实验证明” 、 “举例证明”等，其中演绎证明最严格、最可靠） 2.证明的基本要求证明的基本要求 演绎证明的每一步推理都必须有依据依据，通常把每一步的依据写在其得到的结论后面的括号内； 整个证明由一段一段的因果关系连接而成，段与段前后连贯，有序展开。
一连串连贯、有序的因果 关系组成了完整的证明。
3.推理依据推理依据 在证明中，推理的依据可以是公理、定理、概念、定义；也可以是“已知条件” 、 “已证事项” （即已知、已证） 。
4.辅助线辅助线 由于证明的需要，可以在原来的图形上添画一些线，像这样的线叫做辅助线辅助线（通常画虚线） 。
（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二：命题的相关概念知识点二：命题的相关概念 1.“定义”的定义“定义”的定义 能界定。

5、高钢知识点一：知识点一：反比例函数概念反比例函数概念 1如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例反比例 2解析式形如 y= x k （k 是常数,k0）的函数叫做反比例函数，反比例函数，其中常数 k 叫做比例系数比例系数 （反比例函数y= x k 的定义域是不等于零的一切实数） 3.一般地，反比例函数 y= x k （k 是常数，k0）的图像叫做双曲线，它有两分支 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二：知识点二：反比例函数反比例函数的图像与的图像与性质性质 1.当 k0 时，函数图像的两分支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量 x 的值逐渐增大 时，y 的值随着逐渐减小。
2. 当 k0 经过第 一 、第 三 象限 k0 y 随 x 的增大而 增大 在每一象限内，y 随 x 的增大而 减小 k0 经过第 一 、第 三 象限 k0 y 随 x 的增大而 增大 在每一象限内，y 随 x 的增大而 减小 A B O M x y x y O xy2 P P x k y 1 1 减减 性性 k。

6、加减运 算对多项式进行变 型,进一步解决有关 问题. 1. 掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数； 2. 掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念 3. 理解同类项的概念，并能正确辨别同类项 4. 掌握合并同类项的法则，能进行同类项的合并,并且会利用合并同类项将整式化简 5. 掌握添，去括号法则，并会运用添，去括号法则对多项式惊醒变形，进一步根据具体问题列式，提高 解决实际问题的能力 6. 理解整式加减的运算法则 1. 代数式定义是什么? 2. 单项式的定义是什么?什么是单项式的次数?什么是单项式的系数? 中考要求 重难点 课前预习 整式加减 3. 同类项的概念是什么? 4. 多项式的概念是什么?什么是多项式的项?什么是多项式的次数? 5. 整式的概念是什么? 6. 什么是合并同类项? V 模块一 整式相关概念 【例1】 将多项式 223 421x yxyx y按x的降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小项 【难度】2 星 【解析】 223 421x yxyx y按x的降幂排列为： 3。

7、的加减运 算对多项式进行变 型,进一步解决有关 问题. 1. 掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数； 2. 掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念 3. 理解同类项的概念，并能正确辨别同类项 4. 掌握合并同类项的法则，能进行同类项的合并,并且会利用合并同类项将整式化简 5. 掌握添，去括号法则，并会运用添，去括号法则对多项式惊醒变形，进一步根据具体问题列式，提高 解决实际问题的能力 6. 理解整式加减的运算法则 1. 代数式定义是什么? 2. 单项式的定义是什么?什么是单项式的次数?什么是单项式的系数? 中考要求 重难点 课前预习 整式加减 3. 同类项的概念是什么? 4. 多项式的概念是什么?什么是多项式的项?什么是多项式的次数? 5. 整式的概念是什么? 6. 什么是合并同类项? 模块一 列代数式求值 【例1】 （2011盐城）已知1ab，则代数式223ab的值是（ ） A-1 B1 C-5 D5 【难度】2 星 【解析】：整体思想1ab223232 1 。

8、SR中，是常数，是常量，而S随R的变化而变化，所以S、R是变量 2自变量、因变量与函数 在某一变化过程中，有两个量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应， 其中x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数 函数不是数， 它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系， 函数本质就是变量间的对应关系 注意： 对于每一个给定的x值，y有一个唯一确定的值与之对应，否则y就不是x的函数 例如 2 yx就不是函数，因为当4x 时，2y ，即y有两个值与x对应 对于每一个给定的y值，x可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应 例如在函数 2 (3)yx中，2x 时，1y ；4x 时，1y 二、函数自变量的取值范围二、函数自变量的取值范围 函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体 求自变量的取值范围通常从 两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际 在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： 整式：自变量的取值范围是任意实数 分式分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数 根式。

9、有关的简单问题 能综合运用几何知识解 决与圆周角有关的问题 直线与圆的 位置关系 了解直线与圆的位置关系； 了解切线的概念，理解切线 与过切点的半径之间关系； 会过圆上一点画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直 线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问 题 切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题 圆与圆的位 置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题 一、圆的相关概念 1. 圆的定义 （1） 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转 所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径 （2） 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径 （3） 圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O“，读作” 圆O“ （4） 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同 心圆；能够重合的两个圆叫做等圆 注意：注意：同圆或等圆的半径相等 2. 弦和弧 （1） 弦：连结。

10、 单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式. 以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下： 232342 33aba b ca b c，两个单项式的系数分别为 1 和 3， 乘积的系数是 3，两个单项式中关于字母a的幂分别是a和 2 a，乘积中a的幂是 3 a，同理，乘积中b的幂 是 4 b，另外，单项式ab中不含c的幂，而 232 3a b c中含 2 c，故乘积中含 2 c. 单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加， 公式为：()m abcmambmc，其中m为单项式，abc为多项式. 多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然 后把积相加，公式为：()()mn abmambnanb 模块二 整式的除法 单项式除以单项式：单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连 同它的指数作。

11、 2单项式； 3多项式及整式的有关概念； 4整式的加减运算； 知识精要知识精要 一、基本概念一、基本概念 1代数式代数式 用基本的运算符号(指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方)把数或表示数的 字母连接而成的式子叫做代数式 2单项式单项式 表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式 （包含单个的数字、单个的字母、数 字与字母的乘积、几个字母的乘积等形式 ） 注：(1)单独的一个数或一个字母也是单项式 (2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 (3)一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数 3多项式多项式 2 几个单项式的和叫做多项式，即多项式由单项式组合而成的 注： （1）多项式中的每个单项式就是一个项 （2）多项式中有几个单项式就有几项 （3）多项式中次数最高的单项式的次数就是多项式的次数 （4）多项式中不含字母的项叫做常数项 4整式整式 单项式和多项式统称整式 补充：分母含有字母的代数式叫做分式 5同类项同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同 类项 二、基本运算法则二、基本。

12、 能利用圆的有关概念解决简单 问题 1理解并掌握圆心角与圆周角的关系 2理解掌握点和圆的位置关系及其判定 3会用圆的有关概念解决简单问题 圆的面积公式 开普勒（1571 1630）通过一种非常有趣的方法解析圆的面积公式是怎样得到的假定把 圆分成n个扇形，它们都可以近似看成全等的等腰三角形由于这些等腰三角形是来自同一个圆，因而它 们的高都等于圆的半径当他们如图放在一起时，就构成了平行四边形的样子平行四边形的底为圆周长 的一半，高即r因而，圆的面积平行四边形的面积 2 ()rrr 中考要求 重难点 课前预习 圆周角 n . . 9 8 7 6 5 4 3 2 1 n . . 9 8 7 6 5 43 2 1 模块一 圆周角定理 【例1】 若O的一条弧所对的圆周60，则这条弧所对的圆心角是（ ） A30 B60 120 以上答案都不对 【例2】 如图，BC是O的弦，圆周角50ABC,则OCA的度数是 B C A O 【巩固】如图，O正方形ABCD的外接圆，点P在O上，则APB等于（ ） 例题精讲 O P。

13、 1、二次根式 式子)0(aa叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“” ；被开方数 a 必须 是非负数。
2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或 因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式 的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因 式开出来。
3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质 （1）)0()( 2 aaa )0( aa （2） aa2 )0(aa （3）)0, 0(babaab （4）)0, 0(ba b a b a 5、二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括 号里的（或先去括号） 。
（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二知识点。

14、一 轴对称与轴对称图形 轴对称图形的识别轴对称图形的识别 【例1】 下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（ ） 【难度】1 星 【解析】根据轴对称的性质来判断 【答案】C 【例2】 如图，阴影部分是由 5 个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂 黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是（ ） 例题精讲 中考要求 重难点 轴对称 A B C D 【难度】1 星 【解析】略 【答案】D 【巩固】如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线 AB 为对称轴，在对角线的下方再画一个 三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（ ） A B C D 【难度】1 星 【解析】略 【答案】C 【例3】 判断下列图形（图）是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴 【难度】2 星 【解析】根据轴对称性质做判断 【答案】是轴对称图形的有： （2） ， （4） ， （6） ， （7） ， （9） ；分别有1条，1条，4条，1条，2条对称轴 【巩固】下列图形中对称轴最多的是（ ） A圆 B正。

15、可以将互不相邻的元素集中到一起，使我们能够更有效地利用条件；通过几何变换还可以自然地利用 图形本身的对称性，有意无意地将我们平时注意不到的条件运用到解题中 几何变换可以分为以下几类： 1 平移：即保持点沿同一方向移动相同距离，且保持线段平行的变换平移的性质有：保持角度不变， 保持几何图形全等 2 轴对称：将图形沿直线翻折轴对称的性质有：对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段的交点在 对称轴上，保持几何图形全等 3 中心对称：将图形关于一个点对称中心对称的性质有：对应点的连线的中点永远是对称中心，保持 几何图形全等 4 旋转：即将平面图形绕一个定点旋转一个角度旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等，对应 直线的夹角等于旋转角，保持几何图形全等 5 位似：将图形关于一个点作放大或缩小变换初中几何暂时不涉及这部分内容 二、平移变换 1平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不 改变图形的形状和大小 注：平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换 图形的平移有两个要素。

16、可以将互不相邻的元素集中到一起，使我们能够更有效地利用条件；通过几何变换还可以自然地利用 图形本身的对称性，有意无意地将我们平时注意不到的条件运用到解题中 几何变换可以分为以下几类： 1 平移：即保持点沿同一方向移动相同距离，且保持线段平行的变换平移的性质有：保持角度不变， 保持几何图形全等 2 轴对称：将图形沿直线翻折轴对称的性质有：对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段的交点在 对称轴上，保持几何图形全等 3 中心对称：将图形关于一个点对称中心对称的性质有：对应点的连线的中点永远是对称中心，保持 几何图形全等 4 旋转：即将平面图形绕一个定点旋转一个角度旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等，对应 直线的夹角等于旋转角，保持几何图形全等 5 位似：将图形关于一个点作放大或缩小变换初中几何暂时不涉及这部分内容 二、平移变换 1平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不 改变图形的形状和大小 注：平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换 图形的平移有两个要素。

17、的加减运 算对多项式进行变 型,进一步解决有关 问题. 1. 掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数； 2. 掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念 3. 理解同类项的概念，并能正确辨别同类项 4. 掌握合并同类项的法则，能进行同类项的合并,并且会利用合并同类项将整式化简 5. 掌握添，去括号法则，并会运用添，去括号法则对多项式惊醒变形，进一步根据具体问题列式，提高 解决实际问题的能力 6. 理解整式加减的运算法则 有一位贫苦农民在路上遇见了魔鬼，魔鬼说： “我有一个主意，可以让你轻松发大财，只要你从我身 后这座桥上走过去，你的钱就会增加 1 倍；你从桥上再走回来，钱数又会增加 1 倍，每过一次桥，你的钱 都能增加 1 倍”.农民笑答： “鬼话连篇！ ”魔鬼说： “我就是魔鬼，我有法力实现我的诺言，不过你必须保 证，每次在你的钱数加倍后，要给我a个铜板.”农民大喜，马上过桥，但第三次过桥后，口袋里刚好只有 中考要求 重难点 课前预习 整式的加减 a个铜板，付给魔鬼，分文不剩. 问题：你能用代数式表示农民。

18、边三角形 和直角三角形的概念， 会识别 这三种图形， 并理解这三种图 形的性质和判定 能用等腰三角形、等边三角形和直角 三角形的性质和判定解决简单问题 能用等腰三角形、 等边三角形和直角 三角形的知识解决 有关问题 版块一 轴对称与轴对称图形 轴对称的有关概念轴对称的有关概念 1 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形成轴对称，这条直线就 是对称轴。
2 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴。
3 轴对称指两个图形，轴对称图形是指一个图形。
4 成轴对称的两个图形一定是全等形；全等的两个图形不一定成轴对称。
轴对称及轴对称图形的性质 1 如果两个图形关于某一直线对称，则对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相 等。
2 轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分；轴对称图形的对应线段相等，对应角相等。
3 线段有两条对称轴；角有两条对称轴；等腰三角形（非等边）有两条对称轴；等边三角形有三条对称 轴；等腰梯形有一条对称轴；矩形有两条对称轴；菱形有两条。

19、 1、二次根式 式子)0(aa叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“” ；被开方数 a 必须 是非负数。
2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或 因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式 的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因 式开出来。
3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质 （1）)0()( 2 aaa )0( aa （2） aa2 )0(aa （3）)0, 0(babaab （4）)0, 0(ba b a b a 5、二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括 号里的（或先去括号） 。
（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二知识点。

20、1-1 三角形的三边不等关系的证明 高级运用 4 第二关 “8 字”模型和“飞镖”模型 高级运用 7 2-1 “8 字”模型和“飞镖”模型的基本结论 高级理解 8 2-2 “8 字”模型和“飞镖”模型的拓展 高级运用 10 第三关 倒角模型 高级理解 13 3-1 倒角模型 高级理解 14 第第二二章章 全等全等模型模型综合综合 1717 第一关 证全等模型 高级运用 19 1-1 证明手拉手模型中的全等 初级运用 20 1-2 证明垂直模型中的全等 初级运用 23 1-3 用倍长中线法构造全等 初级运用 26 1-4 用半角模型构造全等 高级运用 28 第第三三章章 轴对称的性质与作图轴对称的性质与作图 3131 第一关 轴对称的性质 高级理解 33 1-1 轴对称图形的性质 初级理解 34 第二关 垂直平分线与角平分线 初级运用 37 2-1 用垂直平分线与角平分线的性质解题 初级运用 38 第三关 最短路径问题 高。